Lineare Beziehungsdefinition

Was ist eine lineare Beziehung?

Eine lineare Beziehung (oder lineare Assoziation) ist ein statistischer Begriff, der zur Beschreibung einer linearen Beziehung zwischen einer Variablen und einer Konstanten verwendet wird. Lineare Beziehungen können entweder in einem grafischen Format ausgedrückt werden, bei dem die Variable und die Konstante über eine gerade Linie verbunden sind, oder in einem mathematischen Format, bei dem die unabhängige Variable mit dem Steigungskoeffizienten multipliziert wird, der mit einer Konstante addiert wird, die die abhängige Variable bestimmt.

Eine lineare Beziehung kann einer polynomiellen oder nichtlinearen (gekrümmten) Beziehung gegenübergestellt werden.

Die zentralen Thesen

• Eine lineare Beziehung (oder lineare Assoziation) ist ein statistischer Begriff, der zur Beschreibung einer linearen Beziehung zwischen einer Variablen und einer Konstanten verwendet wird.
• Lineare Beziehungen können entweder in einem grafischen Format oder als mathematische Gleichung der Form y = mx + b ausgedrückt werden.
• Lineare Beziehungen sind im täglichen Leben weit verbreitet.

Die lineare Gleichung lautet:

Mathematisch ist eine lineare Beziehung eine, die die Gleichung erfüllt:

y = mx + bwhere: m = slopeb = y-Achsenabschnitt \ begin {align} & y = mx + b \\ & \ textbf {where:} \\ & m = \ text {hang} \\ & b = \ text {y -intercept} \\ \ end {align} y = mx + bwhere: m = slopeb = y-intercept

In dieser Gleichung sind "x" und "y" zwei Variablen, die durch die Parameter "m" und "b" verbunden sind. Grafisch zeigt y = mx + b in der xy-Ebene eine Linie mit der Steigung „m“ und dem y-Achsenabschnitt „b“. Der y-Achsenabschnitt „b“ ist einfach der Wert von „y“, wenn x = 0. Die Steigung "m" wird aus zwei beliebigen Einzelpunkten (x ₁, y ₁ ) und (x ₂, y ₂ ) berechnet als:

m = (y2 - y1) (x2 - x1) m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)} m = (x2 - x1) (y2 - y1)

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Lineare Beziehung

Was sagt Ihnen eine lineare Beziehung?

Es gibt drei Sätze notwendiger Kriterien, die eine Gleichung erfüllen muss, um sich als linear zu qualifizieren: Eine Gleichung, die eine lineare Beziehung ausdrückt, kann nicht aus mehr als zwei Variablen bestehen. Alle Variablen in einer Gleichung müssen der ersten Potenz entsprechen und die Gleichung muss als gerade Linie dargestellt werden.

Eine lineare Funktion in der Mathematik erfüllt die Eigenschaften Additivität und Homogenität. Lineare Funktionen beachten auch das Überlagerungsprinzip, das besagt, dass die Nettoleistung von zwei oder mehr Eingängen gleich der Summe der Leistungen der einzelnen Eingänge ist. Eine häufig verwendete lineare Beziehung ist eine Korrelation, die beschreibt, wie sich eine Variable linear zu Änderungen in einer anderen Variablen ändert.

In der Ökonometrie wird die lineare Regression häufig zur Erzeugung linearer Beziehungen verwendet, um verschiedene Phänomene zu erklären. Es sind jedoch nicht alle Beziehungen linear. Einige Daten beschreiben gekrümmte Beziehungen (z. B. Polynombeziehungen), während andere Daten nicht parametrisiert werden können.

Lineare Funktionen

Mathematisch ähnlich einer linearen Beziehung ist das Konzept einer linearen Funktion. In eine Variable kann eine lineare Funktion wie folgt geschrieben werden:

f (x) = mx + bwhere: m = slopeb = y-Achsenabschnitt \ begin {ausgerichtet} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {wobei:} \\ & m = \ text {Steigung} \\ & b = \ Text {y-Achsenabschnitt} \\ \ Ende {ausgerichtet} f (x) = mx + bwhere: m = slopeb = y-Achsenabschnitt

Dies ist identisch mit der angegebenen Formel für eine lineare Beziehung, außer dass das Symbol f (x) anstelle von y verwendet wird. Diese Ersetzung wird vorgenommen, um die Bedeutung hervorzuheben, dass x auf f (x) abgebildet wird, während die Verwendung von y lediglich angibt, dass x und y zwei durch A und B verwandte Größen sind.

Bei der Untersuchung der linearen Algebra werden die Eigenschaften linearer Funktionen eingehend untersucht und präzisiert. Ausgehend von einem Skalar C und zwei Vektoren A und B aus R ^N lautet die allgemeinste Definition einer linearen Funktion: c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B) c \ Zeiten f (A + B) = c \ Zeiten f (A) + c \ Zeiten f (B) c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B)

Beispiele für lineare Beziehungen

Beispiel 1

Lineare Beziehungen sind im täglichen Leben weit verbreitet. Nehmen wir zum Beispiel das Konzept der Geschwindigkeit. Die Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit lautet wie folgt: Die Geschwindigkeitsrate ist die über die Zeit zurückgelegte Strecke. Wenn jemand in einem weißen Chrysler Town and Country-Minivan aus dem Jahr 2007 zwischen Sacramento und Marysville in Kalifornien fährt, eine Strecke von 61 km auf dem Highway 99, und die gesamte Fahrt 40 Minuten dauert, ist sie knapp über 100 km / h unterwegs.

Obwohl diese Gleichung mehr als zwei Variablen enthält, ist sie immer noch eine lineare Gleichung, da eine der Variablen immer eine Konstante (Distanz) ist.

Beispiel 2

Eine lineare Beziehung kann auch in der Gleichung Abstand = Geschwindigkeit x Zeit gefunden werden. Da der Abstand (in den meisten Fällen) eine positive Zahl ist, wird diese lineare Beziehung im oberen rechten Quadranten eines Diagramms mit einer X- und Y-Achse ausgedrückt.

Wenn ein Fahrrad für zwei Personen 20 Stunden lang mit einer Geschwindigkeit von 30 Meilen pro Stunde unterwegs war, wird der Fahrer am Ende 600 Meilen zurücklegen. Grafisch dargestellt mit dem Abstand auf der Y-Achse und der Zeit auf der X-Achse würde eine Linie, die den Abstand über diese 20 Stunden verfolgt, direkt aus der Konvergenz der X- und Y-Achse heraus verlaufen.

Beispiel 3

Um Celsius in Fahrenheit oder Fahrenheit in Celsius umzurechnen, verwenden Sie die folgenden Gleichungen. Diese Gleichungen drücken eine lineare Beziehung in einem Diagramm aus:

° C = 59 (° F - 32) \ Grad C = \ frac {5} {9} (\ Grad F - 32) ° C = 95 (° F - 32)

° F = 95 (° C + 32) \ Grad F = \ frac {9} {5} (\ Grad C + 32) ° F = 59 (° C + 32)

Beispiel 4

Angenommen, die unabhängige Variable ist die Größe eines Hauses (gemessen anhand der Quadratmeterzahl), die den Marktpreis eines Hauses (die abhängige Variable) bestimmt, wenn sie mit dem Steigungskoeffizienten von 207, 65 multipliziert und dann zum konstanten Term 10.500 US-Dollar addiert wird . Wenn die Wohnfläche eines Hauses 1.250 beträgt, beträgt der Marktwert des Hauses (1.250 x 207, 65) + 10.500 USD = 270.062, 50 USD. Grafisch und mathematisch sieht es folgendermaßen aus:

In diesem Beispiel nimmt der Marktwert des Hauses linear zu, wenn die Größe des Hauses zunimmt.

Einige lineare Beziehungen zwischen zwei Objekten können als "Proportionalitätskonstante" bezeichnet werden. Diese Beziehung erscheint als

Y = k × Xwobei: k = KonstanteY, X = proportionale Größen \ begin {ausgerichtet} & Y = k \ times X \\ & \ textbf {wobei:} \\ & k = \ text {Konstante} \\ & Y, X = \ text {proportionale Größen} \\ \ end {align} Y = k × Xwhere: k = constantY, X = proportionale Größen

Bei der Analyse von Verhaltensdaten gibt es selten eine perfekte lineare Beziehung zwischen Variablen. Trendlinien können jedoch in Daten gefunden werden, die eine grobe Version einer linearen Beziehung bilden. Sie können beispielsweise den Verkauf von Speiseeis und die Anzahl der Krankenhausbesuche als die beiden Variablen betrachten, die in einer Grafik dargestellt werden, und eine lineare Beziehung zwischen den beiden Variablen finden.

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