Die Verwendung und Grenzen der Volatilität

Investoren möchten sich auf das Versprechen hoher Renditen konzentrieren, sollten sich aber auch fragen, wie viel Risiko sie im Austausch für diese Renditen eingehen müssen. Obwohl wir oft allgemein von Risiko sprechen, gibt es auch formale Ausdrücke für das Risiko-Ertrags-Verhältnis. Zum Beispiel misst die Sharpe Ratio die Überschussrendite pro Risikoeinheit, wobei das Risiko als Volatilität berechnet wird, was ein traditionelles und beliebtes Risikomaß ist. Seine statistischen Eigenschaften sind bekannt und es fließt in verschiedene Frameworks ein, wie die moderne Portfolio-Theorie und das Black-Scholes-Modell. In diesem Artikel untersuchen wir die Volatilität, um ihre Verwendung und ihre Grenzen zu verstehen.

Annualisierte Standardabweichung
Im Gegensatz zur impliziten Volatilität, die zur Optionspreistheorie gehört und eine vorausschauende Schätzung auf der Grundlage eines Marktkonsenses darstellt, ist die regelmäßige Volatilität rückläufig. Insbesondere handelt es sich um die annualisierte Standardabweichung der historischen Renditen.

Traditionelle Risikorahmen, die auf Standardabweichungen beruhen, gehen im Allgemeinen davon aus, dass die Renditen einer normalen glockenförmigen Verteilung entsprechen. Normalverteilungen geben uns nützliche Richtlinien: In etwa zwei Dritteln der Zeit (68, 3%) sollten die Renditen innerhalb einer Standardabweichung (+/-) liegen. In 95% der Fälle sollten die Renditen innerhalb von zwei Standardabweichungen liegen. Zwei Eigenschaften eines Normalverteilungsgraphen sind dünne "Schwänze" und perfekte Symmetrie. Dünne Schwänze implizieren ein sehr geringes Auftreten (etwa 0, 3% der Zeit) von Renditen, die mehr als drei Standardabweichungen vom Durchschnitt abweichen. Symmetrie impliziert, dass die Häufigkeit und Größe von Aufwärtsgewinnen ein Spiegelbild von Abwärtsverlusten ist.

SIEHE: Auswirkungen der Volatilität auf die Marktrenditen

Folglich behandeln traditionelle Modelle jede Unsicherheit als Risiko, unabhängig von der Richtung. Wie viele Menschen gezeigt haben, ist dies ein Problem, wenn die Renditen nicht symmetrisch sind - Anleger sorgen sich um ihre Verluste "links" vom Durchschnitt, aber sie sorgen sich nicht um Gewinne rechts vom Durchschnitt.

Wir veranschaulichen diese Eigenart unten mit zwei fiktiven Beständen. Die fallende Aktie (blaue Linie) ist völlig streuungsfrei und erzeugt daher eine Volatilität von Null. Die steigende Aktie erzeugt jedoch eine Volatilität (Standardabweichung) von 10%, da sie mehrere Aufwärtsschocks, aber keinen einzigen Rückgang aufweist.

Theoretische Eigenschaften
Wenn wir zum Beispiel die Volatilität für den S & P 500-Index zum 31. Januar 2004 berechnen, erreichen wir Werte zwischen 14, 7% und 21, 1%. Warum so ein Bereich ">

Beachten Sie, dass die Volatilität mit zunehmendem Intervall zunimmt, jedoch nicht annähernd proportional: Die wöchentliche Rate ist nicht annähernd fünfmal so hoch wie die tägliche und die monatliche Rate nicht annähernd viermal so hoch wie die wöchentliche. Wir sind zu einem Schlüsselaspekt der Random-Walk-Theorie gelangt: Standardabweichungsskalen (Zunahmen) proportional zur Quadratwurzel der Zeit. Bei einer täglichen Standardabweichung von 1, 1% und 250 Handelstagen pro Jahr entspricht die annualisierte Standardabweichung der täglichen Standardabweichung von 1, 1% multipliziert mit der Quadratwurzel von 250 (1, 1% x 15, 8 = 18, 1%). . In diesem Wissen können wir die Intervallstandardabweichungen für den S & P 500 durch Multiplikation der Anzahl der Intervalle pro Jahr mit der Quadratwurzel annualisieren:

Eine andere theoretische Eigenschaft der Volatilität kann Sie überraschen oder auch nicht: Sie schwächt die Renditen ab. Dies ist auf die Grundannahme der Random-Walk-Idee zurückzuführen: Die Renditen werden in Prozent ausgedrückt. Stellen Sie sich vor, Sie beginnen mit 100 USD und gewinnen dann 10%, um 110 USD zu erhalten. Dann verlieren Sie 10%, was Ihnen 99 $ einbringt (110 $ x 90% = 99 $). Dann gewinnen Sie erneut 10% und erhalten 108, 90 USD (99 x 110% = 108, 9 USD). Schließlich verlieren Sie 10% auf netto 98, 01 USD. Es mag kontraintuitiv sein, aber Ihr Principal schwindet langsam, obwohl Ihr durchschnittlicher Gewinn 0% beträgt!

Wenn Sie beispielsweise einen durchschnittlichen jährlichen Gewinn von 10% pro Jahr (dh einen arithmetischen Durchschnitt) erwarten, stellt sich heraus, dass Ihr langfristig erwarteter Gewinn weniger als 10% pro Jahr beträgt. Tatsächlich wird es um ungefähr die Hälfte der Varianz reduziert (wobei die Varianz das Quadrat der Standardabweichung ist). In der folgenden Hypothese beginnen wir mit 100 US-Dollar und stellen uns dann fünf Jahre Volatilität vor, die mit 157 US-Dollar enden:

Die durchschnittliche jährliche Rendite über die fünf Jahre betrug 10% (15% + 0% + 20% - 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%)

(CAGR oder geometrische Rückkehr) ist ein genaueres Maß für die

und es war nur 9, 49%. Die Volatilität schwächte das Ergebnis ab und die Differenz beträgt etwa die Hälfte der Varianz von 1, 1%. Diese Ergebnisse stammen nicht aus einem historischen Beispiel, sondern in Bezug auf die Erwartungen bei einer Standardabweichung von

(Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung,

^ 2) und ein erwarteter durchschnittlicher Gewinn von

beträgt die erwartete annualisierte Rendite ungefähr

- (

^ 2 ÷ 2).

Gibt es gut erzogene Renditen? "> Nasdaq unten (ca. 2.500 tägliche Beobachtungen):

Wie zu erwarten ist, ist die Volatilität von Nasdaq (annualisierte Standardabweichung von 28, 8%) größer als die Volatilität des S & P 500 (annualisierte Standardabweichung von 18, 1%). Wir können zwei Unterschiede zwischen der Normalverteilung und den tatsächlichen Erträgen feststellen. Erstens weisen die tatsächlichen Renditen höhere Spitzen auf - was bedeutet, dass die Renditen mehr als im Durchschnitt liegen. Zweitens haben die tatsächlichen Renditen dickere Schwänze. (Unsere Ergebnisse stimmen in gewisser Weise mit umfangreicheren akademischen Studien überein, die auch dazu neigen, hohe Spitzen und fette Schwänze zu finden; der Fachbegriff hierfür ist Kurtosis). Nehmen wir an, wir betrachten minus drei Standardabweichungen als großen Verlust: Der S & P 500 verzeichnete in etwa -3, 4% der Fälle einen täglichen Verlust von minus drei Standardabweichungen. Die normale Kurve sagt voraus, dass ein solcher Verlust in 10 Jahren etwa dreimal auftreten würde, aber tatsächlich 14 Mal!

Dies sind Verteilungen getrennter Intervallrenditen, aber was sagt die Theorie über die Renditen über die Zeit aus? Die durchschnittliche jährliche Rendite (über die letzten 10 Jahre) betrug etwa 10, 6% und die annualisierte Volatilität betrug, wie diskutiert, 18, 1%. Hier führen wir eine Hypothese durch Der Versuch begann mit 100 US-Dollar und dauerte über 10 Jahre. Wir setzen die Investition jedoch jedes Jahr einem zufälligen Ergebnis aus, das durchschnittlich 10, 6% betrug und eine Standardabweichung von 18, 1% aufwies. Dieser Versuch wurde 500 Mal durchgeführt, was ihn zu einem sogenannten Monte Carlo machte Die endgültigen Preisergebnisse von 500 Versuchen sind nachstehend aufgeführt:

Eine Normalverteilung wird lediglich als Hintergrund angezeigt, um die sehr ungewöhnlichen Kursergebnisse hervorzuheben. Technisch gesehen sind die endgültigen Kursergebnisse lognormal (was bedeutet, dass die Verteilung normaler aussehen würde, wenn die x-Achse in das natürliche log von x konvertiert würde). Der Punkt ist, dass mehrere Preisergebnisse weit rechts liegen: Aus 500 Versuchen resultierten aus sechs Ergebnissen ein Ergebnis von 700 USD zum Ende des Berichtszeitraums! Diese wenigen wertvollen Ergebnisse haben es geschafft, über 10 Jahre lang durchschnittlich über 20% pro Jahr zu verdienen. Auf der linken Seite haben wir nur eine Handvoll Endergebnisse erhalten, die weniger als 50 USD betrugen, da ein abnehmender Saldo die kumulativen Auswirkungen von prozentualen Verlusten verringert. Um eine schwierige Idee zusammenzufassen, wir können sagen, dass Intervallrenditen - ausgedrückt in Prozent - normal verteilt sind, aber die endgültigen Preisergebnisse logarithmisch normal verteilt sind.

SIEHE: Multivariate Modelle: Die Monte-Carlo-Analyse

Ein weiteres Ergebnis unserer Versuche steht im Einklang mit den "Erosionseffekten" der Volatilität: Wenn Ihre Investition genau den Durchschnitt pro Jahr verdient, würden Sie am Ende etwa 273 USD halten (10, 6% aufgeschlüsselt über 10 Jahre). In diesem Experiment lag unser erwarteter Gesamtgewinn jedoch näher bei 250 USD. Mit anderen Worten, der durchschnittliche (arithmetische) Jahreszuwachs betrug 10, 6%, der kumulative (geometrische) Zuwachs war jedoch geringer.

Es ist wichtig zu bedenken, dass unsere Simulation einen zufälligen Gang voraussetzt: Es wird davon ausgegangen, dass die Rückkehr von einer Periode zur nächsten völlig unabhängig ist. Wir haben das keineswegs bewiesen, und es ist keine triviale Annahme. Wenn Sie glauben, dass Renditen den Trends folgen, sagen Sie technisch, dass sie eine positive serielle Korrelation aufweisen. Wenn Sie denken, dass sie zum Mittelwert zurückkehren, dann sagen Sie technisch gesehen, dass sie eine negative serielle Korrelation aufweisen. Keine Haltung entspricht der Unabhängigkeit.

Die Quintessenz
Die Volatilität ist die annualisierte Standardabweichung der Renditen. Im traditionellen theoretischen Rahmen misst es nicht nur das Risiko, sondern beeinflusst auch die Erwartung langfristiger (mehrperiodischer) Renditen. Als solches fordert es uns auf, die zweifelhaften Annahmen zu akzeptieren, dass Intervallrenditen normal verteilt und unabhängig sind. Wenn diese Annahmen zutreffen, ist hohe Volatilität ein zweischneidiges Schwert: Es untergräbt Ihre erwartete langfristige Rendite (es reduziert den arithmetischen Durchschnitt auf den geometrischen Durchschnitt), bietet Ihnen aber auch mehr Chancen, ein paar große Gewinne zu erzielen.

SIEHE: Implizite Volatilität: Kaufen Sie niedrig und verkaufen Sie hoch