Den Zeitwert von Geld verstehen

Herzliche Glückwünsche!!! Sie haben einen Geldpreis gewonnen! Sie haben zwei Zahlungsmöglichkeiten: A: Jetzt 10.000 USD erhalten oder B: In drei Jahren 10.000 USD erhalten. Welche Option würden Sie wählen?

Was ist der Zeitwert von Geld?

Wenn Sie wie die meisten Menschen sind, würden Sie sich jetzt dafür entscheiden, die 10.000 US-Dollar zu erhalten. Immerhin sind drei Jahre eine lange Wartezeit. Warum würde eine vernünftige Person die Zahlung in die Zukunft verschieben, wenn sie oder er jetzt den gleichen Geldbetrag haben könnte? Für die meisten von uns ist das Geld in der Gegenwart nur ein Instinkt. Auf der einfachsten Ebene zeigt der Zeitwert des Geldes, dass es besser ist, jetzt Geld zu haben, als später, wenn alle Dinge gleich sind.

Aber warum ist das so? Eine 100-Dollar-Rechnung hat in einem Jahr den gleichen Wert wie eine 100-Dollar-Rechnung, nicht wahr? Obwohl die Rechnung dieselbe ist, können Sie viel mehr mit dem Geld machen, wenn Sie es jetzt haben, weil Sie mit der Zeit mehr Zinsen für Ihr Geld verdienen können.

Zurück zu unserem Beispiel: Wenn Sie heute 10.000 US-Dollar erhalten, können Sie den zukünftigen Wert Ihres Geldes steigern, indem Sie im Laufe der Zeit investieren und Zinsen gewinnen. Für Option B haben Sie keine Zeit und die Zahlung, die Sie in drei Jahren erhalten, wäre Ihr zukünftiger Wert. Zur Veranschaulichung haben wir eine Zeitleiste bereitgestellt:

Wenn Sie sich für Option A entscheiden, beträgt Ihr zukünftiger Wert 10.000 USD zuzüglich aller in den drei Jahren erworbenen Zinsen. Der zukünftige Wert für Option B wäre hingegen nur 10.000 US-Dollar. Wie können Sie also genau berechnen, wie viel mehr Option A wert ist als Option B? Lass uns mal sehen.

Future Value Basics

Wenn Sie sich für Option A entscheiden und den Gesamtbetrag zu einem einfachen jährlichen Satz von 4, 5% anlegen, beträgt der zukünftige Wert Ihrer Anlage am Ende des ersten Jahres 10.450 USD. Wir kommen zu dieser Summe, indem wir den Kapitalbetrag von 10.000 USD mit dem Zinssatz von 4, 5% multiplizieren und dann die Zinsen zum Kapitalbetrag addieren:

$ 10.000 × 0.045 = $ 450 \ beginne {ausgerichtet} & \ $ 10.000 \ times 0.045 = \ $ 450 \\ \ ende {ausgerichtet} $ 10.000 × 0.045 = $ 450

$ 450 + $ 10.000 = $ 10.450 \ beginne {ausgerichtet} & \ $ 450 + \ $ 10.000 = \ $ 10.450 \\ \ end {ausgerichtet} $ 450 + $ 10.000 = $ 10.450

Sie können den Gesamtbetrag einer einjährigen Investition auch mit einer einfachen Manipulation der obigen Gleichung berechnen:

OE = ($ 10.000 × 0.045) + $ 10.000 = $ 10.450, wobei: OE = Originalgleichung \ begin {align} & \ text {OE} = (\ $ 10.000 \ times 0.045) + \ $ 10.000 = \ $ 10.450 \\ & \ textbf {where :} \\ & \ text {OE} = \ text {Originalgleichung} \\ \ end {ausgerichtet} OE = (10.000 × 0, 045 USD) + 10.000 USD = 10.450 USD, wobei: OE = Originalgleichung

Manipulation = $ 10.000 × [(1 × 0, 045) +1] = $ 10.450 \ Beginn {Ausrichtung} & \ Text {Manipulation} = \ $ 10.000 \ Mal [(1 \ Mal 0, 045) + 1] = \ $ 10.450 \\ \ Ende { ausgerichtet} Manipulation = 10.000 USD × [(1 × 0, 045) +1] = 10.450 USD

Endgültige Gleichung = $ 10.000 × (0.045 + 1) = $ 10.450 \ Beginn {ausgerichtet} & \ Text {Endgültige Gleichung} = \ $ 10.000 \ Mal (0.045 + 1) = \ $ 10.450 \\ \ Ende {ausgerichtet} Endgültige Gleichung = $ 10.000 × (0, 045 + 1) = 10.450 USD

Die obige manipulierte Gleichung ist einfach ein Entfernen der ähnlichen Variablen $ 10.000 (des Hauptbetrags), indem die gesamte ursprüngliche Gleichung durch $ 10.000 geteilt wird.

Wenn die 10.450 USD, die zum Ende des ersten Jahres auf Ihrem Anlagekonto verbleiben, unberührt bleiben und Sie sie für ein weiteres Jahr mit 4, 5% angelegt haben, wie viel hätten Sie dann? Um dies zu berechnen, nehmen Sie die 10.450 USD und multiplizieren sie erneut mit 1, 045 (0, 045 +1). Am Ende von zwei Jahren hätten Sie 10.920, 25 USD.

Berechnung des zukünftigen Wertes

Die obige Berechnung entspricht dann der folgenden Gleichung:

Zukünftiger Wert = 10.000 USD × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045) \ Beginn {ausgerichtet} & \ Text {Zukünftiger Wert} = 10.000 USD \ Mal (1 + 0, 045) \ Mal (1 + 0, 045) \\ \ Ende {Ausgerichtet} Zukünftiger Wert = 10.000 USD × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045)

Denken Sie zurück an den Mathematikunterricht und die Regel der Exponenten, die besagt, dass die Multiplikation gleicher Terme der Addition ihrer Exponenten entspricht. In der obigen Gleichung sind die beiden gleichen Ausdrücke (1+ 0, 045) und der Exponent auf jedem ist gleich 1. Daher kann die Gleichung wie folgt dargestellt werden:

Zukünftiger Wert = 10.000 USD × (1 + 0, 045) 2 \ Beginn {ausgerichtet} & \ Text {Zukünftiger Wert} = 10.000 USD \ Mal (1 + 0, 045) ^ 2 \\ \ Ende {ausgerichtet} Zukünftiger Wert = 10.000 USD × ( 1 + 0, 045) 2

Wir können sehen, dass der Exponent gleich der Anzahl der Jahre ist, für die das Geld Interesse an einer Investition verdient. Die Gleichung zur Berechnung des zukünftigen Dreijahreswerts der Investition sieht also folgendermaßen aus:

Zukünftiger Wert = 10.000 USD × (1 + 0, 045) 3 \ Beginn {ausgerichtet} & \ Text {Zukünftiger Wert} = 10.000 USD \ Mal (1 + 0, 045) ^ 3 \\ \ Ende {ausgerichtet} Zukünftiger Wert = 10.000 USD × ( 1 + 0, 045) 3

Es ist jedoch nicht erforderlich, den zukünftigen Wert nach dem ersten Jahr, dem zweiten Jahr, dem dritten Jahr usw. weiter zu berechnen. Sie können sozusagen alles auf einmal herausfinden. Wenn Sie den gegenwärtigen Geldbetrag, die Rendite und die Anzahl der Jahre kennen, in denen Sie diese Investition halten möchten, können Sie den zukünftigen Wert (FV) dieses Betrags berechnen. Es ist mit der Gleichung getan:

FV = PV × (1 + i) Überall: FV = Zukünftiger WertPV = Aktueller Wert (ursprünglicher Geldbetrag) i = Zinssatz pro Periode = Anzahl der Perioden \ begin {align} & \ text {FV} = \ text { PV} \ times (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {FV} = \ text {Zukünftiger Wert} \\ & \ text {PV} = \ text {Aktueller Wert ( ursprünglicher Geldbetrag)} \\ & i = \ text {Zinssatz pro Periode} \\ & n = \ text {Anzahl der Perioden} \\ \ end {ausgerichtet} FV = PV × (1 + i) nwhere: FV = Zukünftiger WertPV = Barwert (ursprünglicher Geldbetrag) i = Zinssatz pro Periode = Anzahl der Perioden

Barwert-Grundlagen

Wenn Sie heute 10.000 US-Dollar erhalten hätten, wäre der Barwert natürlich 10.000 US-Dollar, denn der Barwert ist genau das, was Sie jetzt durch Ihre Investition erhalten, wenn Sie ihn heute ausgeben würden. Wenn Sie in einem Jahr 10.000 US-Dollar erhalten würden, wäre der Barwert des Betrags nicht 10.000 US-Dollar, da Sie ihn gegenwärtig nicht in der Hand haben.

Um den Barwert der 10.000 USD zu ermitteln, die Sie in Zukunft erhalten, müssen Sie so tun, als ob die 10.000 USD der gesamte zukünftige Wert eines Betrags sind, den Sie heute investiert haben. Mit anderen Worten, um den Barwert der zukünftigen 10.000 USD zu ermitteln, müssen wir herausfinden, wie viel wir heute investieren müssten, um diese 10.000 USD in einem Jahr zu erhalten.

Um den Barwert oder den Betrag zu berechnen, den wir heute investieren müssten, müssen Sie die (hypothetischen) aufgelaufenen Zinsen von den 10.000 USD abziehen. Um dies zu erreichen, können wir den zukünftigen Zahlungsbetrag (10.000 USD) vom Zinssatz für den Zeitraum abziehen. Im Wesentlichen müssen Sie nur die obige zukünftige Wertgleichung neu ordnen, damit Sie nach dem Barwert (PV) suchen können. Die obige zukünftige Wertgleichung kann wie folgt umgeschrieben werden:

PV = FV (1 + i) n \ begin {ausgerichtet} & \ text {PV} = \ frac {\ text {FV}} {(1 + i) ^ n} \\ \ end {ausgerichtet} PV = (1 + i) nFV

Eine alternative Gleichung wäre:

PV = FV × (1 + i) - Überall: PV = Barwert (ursprünglicher Geldbetrag) FV = Zukünftiger Werti = Zinssatz pro Periode = Anzahl der Perioden \ begin {align} & \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {PV} = \ text {Barwert (ursprünglicher Geldbetrag)} \\ & \ text {FV} = \ Text {Zukünftiger Wert} \\ & i = \ Text {Zinssatz pro Periode} \\ & n = \ Text {Anzahl Perioden} \\ \ Ende {ausgerichtet} PV = FV × (1 + i) −nwhere: PV = Barwert (ursprünglicher Geldbetrag) FV = Zukünftiger Werti = Zinssatz pro Perioden = Anzahl der Perioden

Berechnung des Barwerts

Lassen Sie uns von den in Option B angebotenen 10.000 US-Dollar zurückgehen. Denken Sie daran, dass die in drei Jahren zu zahlenden 10.000 US-Dollar in Wirklichkeit dem zukünftigen Wert einer Investition entsprechen. Wenn wir noch ein Jahr Zeit hätten, bevor wir das Geld bekommen, würden wir die Zahlung ein Jahr zurücknehmen. Unter Verwendung unserer Barwertformel (Version 2) würde der Barwert der in einem Jahr zu empfangenden 10.000 USD bei der aktuellen Zweijahresmarke 10.000 USD x (1 + .045) ^-1 = 9569, 38 USD betragen.

Beachten Sie, dass, wenn wir heute bei der Jahresmarke wären, die über 9.569, 38 USD als zukünftiger Wert unserer Investition in einem Jahr angesehen würden.

Wenn wir weitermachen, erwarten wir am Ende des ersten Jahres die Zahlung von 10.000 US-Dollar in zwei Jahren. Bei einem Zinssatz von 4, 5% würde der in zwei Jahren erwartete Barwert einer Zahlung in Höhe von 10.000 USD 10.000 USD x (1 + 0, 045) ^-2 = 9157, 30 USD betragen.

Natürlich müssen wir aufgrund der Exponentenregel nicht jedes Jahr den zukünftigen Wert der Investition berechnen, indem wir von der Investition in Höhe von 10.000 USD im dritten Jahr zurückzählen. Wir könnten die Gleichung präziser formulieren und die 10.000 USD als FV verwenden. So können Sie den heutigen Barwert von 10.000 US-Dollar berechnen, der bei einem dreijährigen Anlageerfolg von 4, 5% erwartet wird:

$ 8.762, 97 = $ 10.000 × (1 + .045) - 3 \ beginne {ausgerichtet} & \ $ 8.762, 97 = \ $ 10.000 \ times (1 + .045) ^ {- 3} \\ \ end {ausgerichtet} $ 8.762, 97 = $ 10.000 × ( 1 + .045) -3

Der Barwert einer zukünftigen Zahlung von 10.000 US-Dollar ist heute 8.762, 97 US-Dollar wert, wenn die Zinssätze 4, 5% pro Jahr betragen. Mit anderen Worten bedeutet die Wahl von Option B, dass Sie sich jetzt 8.762, 97 USD nehmen und diese dann drei Jahre lang investieren. Die obigen Gleichungen verdeutlichen, dass Option A nicht nur deshalb besser ist, weil Sie jetzt Geld erhalten, sondern auch, weil Sie mit $ 1.237, 03 ($ 10.000 - $ 8.762, 97) mehr Geld erhalten! Wenn Sie die 10.000 USD investieren, die Sie von Option A erhalten, erhalten Sie einen zukünftigen Wert, der 1.411, 66 USD (11.411, 66 USD - 10.000 USD) über dem zukünftigen Wert von Option B liegt.

Barwert einer zukünftigen Zahlung

Lassen Sie uns unser Angebot genauer erläutern. Was ist, wenn die zukünftige Zahlung den Betrag übersteigt, den Sie sofort erhalten würden? Angenommen, Sie könnten in vier Jahren entweder 15.000 US-Dollar oder 18.000 US-Dollar erhalten. Die Entscheidung ist jetzt schwieriger. Wenn Sie sich heute dafür entscheiden, 15.000 USD zu erhalten und den gesamten Betrag zu investieren, erhalten Sie möglicherweise in vier Jahren einen Barbetrag von weniger als 18.000 USD.

Wie soll man sich entscheiden? Sie könnten den zukünftigen Wert von 15.000 USD ermitteln, aber da wir immer in der Gegenwart leben, lassen Sie uns den gegenwärtigen Wert von 18.000 USD ermitteln. Diesmal gehen wir von einem Zinssatz von derzeit 4% aus. Denken Sie daran, dass die Gleichung für den Barwert wie folgt lautet:

PV = FV × (1 + i) - n \ beginne {ausgerichtet} & \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ \ end {ausgerichtet} PV = FV × (1 + i) - n

In der obigen Gleichung wird lediglich der zukünftige Wert einer Investition abgezinst. Unter Verwendung der obigen Zahlen würde der Barwert einer Zahlung in Höhe von 18.000 USD in vier Jahren mit 18.000 USD x (1 + 0, 04) ^-4 = 15.386, 48 USD berechnet.

Aus der obigen Berechnung wissen wir, dass wir uns heute für 15.000 USD oder 15.386, 48 USD entscheiden. Natürlich sollten wir die Zahlung um vier Jahre verschieben!

Die Quintessenz

Diese Berechnungen zeigen, dass Zeit buchstäblich Geld ist - der Wert des Geldes, das Sie jetzt haben, ist nicht der gleiche wie in der Zukunft und umgekehrt. Daher ist es wichtig zu wissen, wie der Zeitwert des Geldes berechnet wird, damit Sie zwischen dem Wert der Investitionen unterscheiden können, die Ihnen zu verschiedenen Zeiten Renditen bieten. (Für verwandte Lektüre siehe "Zeitwert von Geld und Dollar")