Erkundung des exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitts
Die Volatilität ist das häufigste Maß für das Risiko, es gibt jedoch verschiedene Varianten. In einem früheren Artikel haben wir gezeigt, wie einfache historische Volatilität berechnet wird. In diesem Artikel werden wir die einfache Volatilität verbessern und den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt (EWMA) diskutieren.
Historische vs. implizite Volatilität
Lassen Sie uns zuerst diese Metrik in eine Perspektive bringen. Es gibt zwei breite Ansätze: historische und implizite (oder implizite) Volatilität. Der historische Ansatz geht davon aus, dass die Vergangenheit ein Prolog ist. Wir messen die Geschichte in der Hoffnung, dass sie vorhersagbar ist. Implizite Volatilität hingegen ignoriert die Geschichte. es löst für die Volatilität, die durch Marktpreise impliziert wird. Sie hofft, dass der Markt am besten Bescheid weiß und dass der Marktpreis, wenn auch implizit, eine Konsensschätzung der Volatilität enthält.
Wenn wir uns nur auf die drei historischen Ansätze konzentrieren (links oben), haben sie zwei Schritte gemeinsam:
- Berechnen Sie die Serie der periodischen Renditen
- Wenden Sie ein Gewichtungsschema an
Zuerst berechnen wir die periodische Rendite. Dies ist in der Regel eine Reihe von täglichen Renditen, bei denen jede Rendite in fortlaufenden zusammengesetzten Ausdrücken ausgedrückt wird. Für jeden Tag nehmen wir das natürliche Protokoll des Verhältnisses der Aktienkurse (dh des heutigen Kurses geteilt durch den gestrigen Kurs usw.).
ui = lnsisi − 1where: ui = Rendite am Tag isi = Aktienkurs am Tag isi − 1 = Aktienkurs am Vortag i \ begin {align} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {where:} \\ & u_i = \ text {Rückgabe am Tag} i \\ & s_i = \ text {Aktienkurs am Tag} i \\ & s_ {i - 1} = \ text {Aktienkurs am Tag vor dem Tag} i \\ \ end {align} ui = lnsi − 1 si Dabei gilt: ui = Rendite am Tag isi = Aktienkurs am Tag isi − 1 = Aktienkurs am Tag vor dem Tag i Für den Fall, dass Sie nicht mehr weiterkommen möchten
Dies führt zu einer Reihe von täglichen Erträgen von u i bis u im, je nachdem, wie viele Tage (m = Tage) wir messen.
Das bringt uns zum zweiten Schritt: Hier unterscheiden sich die drei Ansätze. Im vorherigen Artikel haben wir gezeigt, dass die einfache Varianz unter einigen akzeptablen Vereinfachungen der Durchschnitt der quadrierten Renditen ist:
Varianz = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12wobei: m = Anzahl der gemessenen Tage n = dayiu = Differenz der Rendite von der durchschnittlichen Rendite \ begin {align} & \ text {Varianz} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {wobei:} \\ & m = \ text {Anzahl der gemessenen Tage} \\ & n = \ text {Tag} i \\ & u = \ text {Differenz der Rendite von der Durchschnittsrendite} \\ \ end {aligniert} varianz = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12 wobei: m = Anzahl der gemessenen Tage n = Tagiu = Differenz von der durchschnittlichen Rendite
Beachten Sie, dass dies jede der periodischen Rückgaben summiert und diese Summe durch die Anzahl der Tage oder Beobachtungen (m) dividiert. Es ist also wirklich nur ein Durchschnitt der quadrierten periodischen Renditen. Anders ausgedrückt, jeder quadratische Return wird gleich gewichtet. Wenn also Alpha (a) ein Gewichtungsfaktor ist (speziell a = 1 / m), dann sieht eine einfache Varianz ungefähr so aus:
Die EWMA verbessert die einfache Varianz
Die Schwäche dieses Ansatzes ist, dass alle Renditen das gleiche Gewicht haben. Die gestrige (jüngste) Rendite hat keinen größeren Einfluss auf die Varianz als die Rendite des letzten Monats. Dieses Problem wird behoben, indem der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) verwendet wird, bei dem neuere Renditen die Varianz stärker berücksichtigen.
Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) führt Lambda ein, das als Glättungsparameter bezeichnet wird. Lambda muss kleiner als eins sein. Unter dieser Bedingung wird anstelle der gleichen Gewichtung jede quadrierte Rendite mit einem Multiplikator wie folgt gewichtet:
Beispielsweise verwendet RiskMetrics TM , ein Finanzrisikomanagementunternehmen, in der Regel ein Lambda von 0, 94 oder 94%. In diesem Fall wird die erste (jüngste) quadrierte periodische Rendite mit (1-0, 94) (. 94) 0 = 6% gewichtet. Die nächste quadratische Rendite ist einfach ein Lambda-Vielfaches des vorherigen Gewichts. in diesem Fall 6% multipliziert mit 94% = 5, 64%. Und das dritte Gewicht des Vortages entspricht (1-0, 94) (0, 94) 2 = 5, 30%.
Das ist die Bedeutung von "exponentiell" in EWMA: Jedes Gewicht ist ein konstanter Multiplikator (dh Lambda, der kleiner als eins sein muss) des Gewichts des Vortages. Dies stellt eine Varianz sicher, die gegenüber neueren Daten gewichtet oder voreingenommen ist. Der Unterschied zwischen einfacher Volatilität und EWMA für Google wird unten gezeigt.
Einfache Volatilität wiegt effektiv jede einzelne periodische Rendite um 0, 196%, wie in Spalte O gezeigt (wir hatten zwei Jahre tägliche Aktienkursdaten. Das sind 509 tägliche Renditen und 1/509 = 0, 196%). Beachten Sie jedoch, dass Spalte P eine Gewichtung von 6%, dann 5, 64%, dann 5, 3% usw. zuweist. Das ist der einzige Unterschied zwischen einfacher Varianz und EWMA.
Denken Sie daran: Nachdem wir die gesamte Reihe (in Spalte Q) summiert haben, haben wir die Varianz, die das Quadrat der Standardabweichung ist. Wenn wir Volatilität wollen, müssen wir uns daran erinnern, die Quadratwurzel dieser Varianz zu ziehen.
Was ist der Unterschied in der täglichen Volatilität zwischen Varianz und EWMA in Googles Fall?
Die heutige Abweichung ist eine Funktion der Abweichung vom Vortag
Sie werden feststellen, dass wir eine lange Reihe von exponentiell abnehmenden Gewichten berechnen mussten. Wir werden hier nicht rechnen, aber eines der besten Merkmale der EWMA ist, dass die gesamte Reihe bequem auf eine rekursive Formel reduziert wird:
σn2 (ewma) = λσn2 + (1 - λ) un - 12 wobei: λ = Grad der Gewichtsabnahme σ2 = Wert zum Zeitpunkt nu2 = Wert der EWMA zum Zeitpunkt n \ begin {align} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {wobei:} \\ & \ lambda = \ text {der Grad der Gewichtsabnahme} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ text {Wert zum Zeitpunkt} n \\ & u ^ 2 = \ text {Wert der EWMA zum Zeitpunkt} n \\ \ end {align} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 - λ) un - 12 wobei: λ = Grad der Gewichtsabnahmeσ2 = Wert zum Zeitpunkt nu2 = Wert der EWMA zum Zeitpunkt n
Rekursiv bedeutet, dass die heutigen Varianzreferenzen (dh eine Funktion der Varianz des Vortages) sind. Sie finden diese Formel auch in der Tabelle und sie liefert genau das gleiche Ergebnis wie die Langhandberechnung! Es heißt: Die heutige Varianz (nach EWMA) entspricht der Varianz von gestern (gewichtet mit Lambda) plus der quadrierten Rendite von gestern (gewichtet mit einem minus Lambda). Beachten Sie, dass wir nur zwei Terme addieren: die gestern gewichtete Varianz und die gestern gewichtete, quadrierte Rendite.
Dennoch ist Lambda unser Glättungsparameter. Ein höheres Lambda (z. B. 94% von RiskMetric) zeigt einen langsameren Zerfall in der Serie an - relativ gesehen werden mehr Datenpunkte in der Serie vorhanden sein und sie werden langsamer "abfallen". Wenn wir andererseits das Lambda reduzieren, deuten wir auf einen höheren Zerfall hin: Die Gewichte fallen schneller ab und als direkte Folge des schnellen Zerfalls werden weniger Datenpunkte verwendet. (In der Tabelle ist Lambda eine Eingabe, sodass Sie mit der Empfindlichkeit experimentieren können.)
Zusammenfassung
Die Volatilität ist die augenblickliche Standardabweichung einer Aktie und die häufigste Risikokennzahl. Es ist auch die Quadratwurzel der Varianz. Wir können die Varianz historisch oder implizit messen (implizite Volatilität). Historisch gesehen ist die einfachste Methode die einfache Varianz. Aber die Schwäche bei einfacher Varianz ist, dass alle Renditen das gleiche Gewicht bekommen. Wir stehen also vor einem klassischen Kompromiss: Wir wollen immer mehr Daten, aber je mehr Daten wir haben, desto mehr wird unsere Berechnung durch entfernte (weniger relevante) Daten verwässert. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) verbessert die einfache Varianz, indem den periodischen Renditen Gewichtungen zugewiesen werden. Auf diese Weise können wir sowohl eine große Stichprobe verwenden als auch neueren Ergebnissen mehr Gewicht verleihen.