Fortlaufende Zinseszinsen

Zinseszinsen sind Zinsen, die auf das ursprüngliche Kapital sowie auf die aufgelaufenen Zinsen früherer Perioden einer Einlage oder eines Kredits berechnet werden. Der Effekt von Zinseszinsen hängt von der Häufigkeit ab.

Angenommen, ein jährlicher Zinssatz von 12%. Wenn wir das Jahr mit 100 USD beginnen und nur einmal zusammenzählen, steigt der Nennbetrag am Jahresende auf 112 USD (100 USD x 1, 12 USD = 112 USD). Wenn wir stattdessen jeden Monat 1% addieren, haben wir am Jahresende mehr als 112 USD. Das heißt, $ 100 x 1.01 ^ 12 bei $ 112.68. (Es ist höher, weil wir häufiger zusammengesetzt.)

Kontinuierlich verrechnete Renditen verrechnen sich am häufigsten. Kontinuierliche Zinseszinsberechnung ist die mathematische Grenze, die Zinseszinsberechnungen erreichen können. Es handelt sich um einen Extremfall der Aufzinsung, da die meisten Zinsen monatlich, vierteljährlich oder halbjährlich aufgerechnet werden.

Halbjahresrenditen

Schauen wir uns zunächst eine möglicherweise verwirrende Konvention an. Auf dem Anleihemarkt beziehen wir uns auf eine Anleiheäquivalentrendite (oder eine Anleiheäquivalentbasis). Dies bedeutet, dass bei einer halbjährlichen Verzinsung einer Anleihe von 6% die Verzinsung der Anleiheäquivalente 12% beträgt.

Abbildung 1

Die Halbjahresrendite wird einfach verdoppelt. Dies ist möglicherweise verwirrend, da die effektive Ausbeute einer Bindung mit 12% Bindungsequivalent 12, 36% beträgt (dh 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Die Verdoppelung der Halbjahresrendite ist nur eine Namenskonvention für Anleihen. Wenn wir also von einer halbjährlich zusammengesetzten 8% igen Anleihe ausgehen, nehmen wir an, dass dies eine halbjährliche Rendite von 4% bedeutet.

Vierteljährliche, monatliche und tägliche Renditen

Lassen Sie uns nun über höhere Frequenzen sprechen. Wir gehen weiterhin von einem jährlichen Marktzins von 12% aus. Gemäß den Namenskonventionen für Anleihen bedeutet dies einen halbjährlichen Zinseszins von 6%. Wir können nun den vierteljährlichen Zinseszins als Funktion des Marktzinses ausdrücken.

Figur 2

Bei einem jährlichen Marktkurs ( r) ergibt sich der vierteljährliche Zinseszins ( r _q ) aus:

In unserem Beispiel, in dem die jährliche Marktrate 12% beträgt, beträgt die vierteljährliche Zinseszinsrate 11, 825%:

Figur 3

Eine ähnliche Logik gilt für die monatliche Aufzinsung. Der monatliche Zinseszins ( r _m ) wird hier als Funktion des jährlichen Marktzinses ( r) angegeben:

Der tägliche Zinseszins ( d) als Funktion des Marktzinses ( r) ergibt sich aus:

Wie kontinuierliches Compoundieren funktioniert

Figur 4

Wenn wir die zusammengesetzte Frequenz bis an ihre Grenze erhöhen, werden wir kontinuierlich zusammengesetzt. Obwohl dies möglicherweise nicht praktikabel ist, bietet der kontinuierlich hochgerechnete Zinssatz erstaunlich günstige Eigenschaften. Es stellt sich heraus, dass der laufend berechnete Zinssatz gegeben ist durch:

Ln () ist der natürliche Logarithmus und in unserem Beispiel ist die kontinuierlich berechnete Rate daher:

Wir kommen zum selben Punkt, indem wir das natürliche Protokoll dieses Verhältnisses nehmen: den Endwert geteilt durch den Startwert.

Letzteres ist üblich bei der Berechnung der kontinuierlich zusammengesetzten Rendite für eine Aktie. Wenn die Aktie zum Beispiel von 10 USD an einem Tag auf 11 USD am nächsten Tag steigt, ergibt sich die kontinuierlich berechnete tägliche Rendite aus:

Was ist so großartig an der kontinuierlich zusammengesetzten Rate (oder Rendite), dass wir sie mit r _c "> bezeichnen

Beachten Sie, dass e die Exponentialfunktion ist. Wenn wir beispielsweise mit 100 USD beginnen und über drei Jahre kontinuierlich 8% erreichen, ergibt sich das endgültige Vermögen aus:

Die Diskontierung auf den Barwert (PV) erfolgt lediglich in umgekehrter Reihenfolge . Der Barwert eines zukünftigen Wertes (F), der fortlaufend mit einem Satz von ( r _c ) berechnet wird, ergibt sich aus:

Wenn Sie beispielsweise in drei Jahren 100 US-Dollar bei einem kontinuierlichen Zinssatz von 6% erhalten, ergibt sich der Barwert aus:

Skalierung über mehrere Zeiträume

Die bequeme Eigenschaft der kontinuierlich zusammengesetzten Renditen besteht darin, dass sie sich über mehrere Zeiträume erstrecken. Wenn die Rendite für die erste Periode 4% und die Rendite für die zweite Periode 3% beträgt, beträgt die Rendite für zwei Perioden 7%. Angenommen, wir beginnen das Jahr mit 100 US-Dollar, die am Ende des ersten Jahres auf 120 US-Dollar und am Ende des zweiten Jahres auf 150 US-Dollar ansteigen. Die kontinuierlich aufaddierten Renditen betragen 18, 23% bzw. 22, 31%.

Wenn wir diese einfach addieren, erhalten wir 40, 55%. Dies ist die Zwei-Perioden-Rendite:

Technisch gesehen ist die kontinuierliche Rückkehr zeitlich konsistent. Zeitkonsistenz ist eine technische Voraussetzung für Value at Risk (VAR). Dies bedeutet, dass, wenn eine Einperiodenrendite eine normalverteilte Zufallsvariable ist, die Mehrperioden-Zufallsvariablen auch normalverteilt sein sollen. Darüber hinaus ist die Mehrperiodenrendite mit fortlaufender Verzinsung normalerweise verteilt (anders als beispielsweise eine einfache prozentuale Rendite).

Die Quintessenz

Wir können die jährlichen Zinssätze in halbjährliche, vierteljährliche, monatliche oder tägliche Zinssätze (oder Renditen) umformulieren. Das häufigste Compounding ist das kontinuierliche Compounding, bei dem ein natürlicher Stamm und eine Exponentialfunktion verwendet werden müssen, die aufgrund ihrer wünschenswerten Eigenschaften im Finanzwesen häufig verwendet werden - es lässt sich problemlos über mehrere Zeiträume skalieren und ist zeitlich konsistent.