Zentraler Grenzwertsatz (CLT)

Was ist der zentrale Grenzwertsatz (CLT)?

In der Studie der Wahrscheinlichkeitstheorie besagt der zentrale Grenzwertsatz (CLT), dass sich die Verteilung der Stichprobenmittel einer Normalverteilung (auch als „Glockenkurve“ bezeichnet) annähert, wenn die Stichprobengröße größer wird, unter der Annahme, dass alle Stichproben in identisch sind Größe und unabhängig von der Form der Bevölkerungsverteilung.

Mit anderen Worten, CLT ist eine statistische Theorie, die besagt, dass bei einer ausreichend großen Stichprobengröße aus einer Population mit einem endlichen Grad an Varianz der Mittelwert aller Stichproben aus derselben Population ungefähr gleich dem Mittelwert der Population ist. Darüber hinaus folgen alle Stichproben einem ungefähren Normalverteilungsmuster, wobei alle Varianzen ungefähr der Varianz der Grundgesamtheit entsprechen, dividiert durch die Größe jeder Stichprobe.

Obwohl dieses Konzept erstmals 1733 von Abraham de Moivre entwickelt wurde, wurde es erst 1930 offiziell benannt, als der bekannte ungarische Mathematiker George Polya es offiziell als zentralen Grenzwertsatz bezeichnete.

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Zentraler Grenzwertsatz

Verständnis des zentralen Grenzwertsatzes (CLT)

Nach dem zentralen Grenzwertsatz liegt der Mittelwert einer Stichprobe näher am Mittelwert der Gesamtpopulation, da die Stichprobengröße trotz der tatsächlichen Verteilung der Daten zunimmt. Mit anderen Worten, die Daten sind genau, ob die Verteilung normal oder aberrant ist.

Im Allgemeinen wird angenommen, dass Stichprobengrößen von 30 oder mehr für die CLT ausreichend sind, was bedeutet, dass die Verteilung der Stichprobenmittel normal verteilt ist. Je mehr Proben entnommen werden, desto mehr nehmen die grafischen Ergebnisse die Form einer Normalverteilung an.

Der zentrale Grenzwertsatz zeigt ein Phänomen, bei dem der Durchschnitt der Stichprobenmittelwerte und der Standardabweichungen dem Populationsmittelwert und der Standardabweichung entspricht, was für die genaue Vorhersage der Eigenschaften von Populationen äußerst nützlich ist.

Die zentralen Thesen

• Der zentrale Grenzwertsatz (Central Limit Theorem, CLT) besagt, dass sich die Verteilung der Stichprobenmittel einer Normalverteilung annähert, wenn die Stichprobengröße größer wird.
• Probengrößen von 30 oder mehr werden als ausreichend angesehen, damit die CLT gehalten werden kann.
• Ein Schlüsselaspekt der CLT ist, dass der Durchschnitt der Stichprobenmittelwerte und Standardabweichungen dem Populationsmittelwert und der Standardabweichung entspricht.
• Eine ausreichend große Stichprobe kann die Eigenschaften einer Population genau vorhersagen.

Der zentrale Grenzwertsatz im Finanzwesen

Der CLT ist nützlich, wenn Sie die Renditen einzelner Aktien oder breiterer Indizes untersuchen, da die Analyse aufgrund der relativ einfachen Erstellung der erforderlichen Finanzdaten einfach ist. Folglich verlassen sich Anleger aller Art auf den CLT, um Aktienrenditen zu analysieren, Portfolios aufzubauen und Risiken zu managen.

Angenommen, ein Anleger möchte die Gesamtrendite eines Aktienindex analysieren, der 1.000 Aktien umfasst. In diesem Szenario kann der Anleger einfach eine Zufallsstichprobe von Aktien untersuchen, um die geschätzten Renditen des Gesamtindex zu ermitteln. Es müssen mindestens 30 nach dem Zufallsprinzip ausgewählte Aktien aus verschiedenen Sektoren untersucht werden, damit der zentrale Grenzwertsatz gültig ist. Darüber hinaus müssen zuvor ausgewählte Titel mit unterschiedlichen Namen ausgetauscht werden, um Verzerrungen zu vermeiden.

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