Lognormal und Normalverteilung

Die Mathematik hinter Finanzen kann etwas verwirrend und langweilig sein. Glücklicherweise führen die meisten Computerprogramme komplexe Berechnungen durch. Es ist jedoch entscheidend, die verschiedenen statistischen Begriffe und Methoden, ihre Bedeutung und die am besten analysierten Investitionen zu verstehen, um das geeignete Wertpapier auszuwählen und die gewünschten Auswirkungen auf ein Portfolio zu erzielen.

Eine wichtige Entscheidung ist die Wahl zwischen Normal- und Lognormalverteilungen, auf die in der Forschungsliteratur häufig Bezug genommen wird. Vor der Auswahl müssen Sie wissen:

• Was sie sind
• Welche Unterschiede bestehen zwischen ihnen
• Wie sie sich auf Investitionsentscheidungen auswirken

Normal gegen Lognormal

Sowohl Normal- als auch Lognormalverteilungen werden in der statistischen Mathematik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses zu beschreiben. Das Werfen einer Münze ist ein leicht verständliches Beispiel für die Wahrscheinlichkeit. Wenn Sie 1000-mal eine Münze werfen, wie ist die Verteilung der Ergebnisse? Das heißt, wie oft wird es auf Kopf oder Zahl landen? Es besteht eine 50% ige Wahrscheinlichkeit, dass es auf Kopf oder Schwanz landet. Dieses grundlegende Beispiel beschreibt die Wahrscheinlichkeit und Verteilung der Ergebnisse.

Es gibt viele Arten von Verteilungen, von denen eine die Normal- oder Glockenkurvenverteilung ist. (Siehe Abbildung 1.)

Bei einer Normalverteilung liegen 68% (34% + 34%) der Ergebnisse innerhalb einer Standardabweichung und 95% (68% + 13, 5% + 13, 5%) innerhalb zweier Standardabweichungen. In der Mitte (der 0-Punkt im Bild oben) sind der Median (der mittlere Wert in der Menge), der Modus (der Wert, der am häufigsten auftritt) und der Mittelwert (arithmetischer Durchschnitt) alle gleich.

Die logarithmische Normalverteilung unterscheidet sich in mehreren Punkten von der Normalverteilung. Ein wesentlicher Unterschied besteht in der Form: Die Normalverteilung ist symmetrisch, die logarithmische Normalverteilung dagegen nicht. Da die Werte in einer logarithmischen Normalverteilung positiv sind, erzeugen sie eine Kurve mit einem rechten Versatz. (Siehe Abb. 2)

Diese Schiefe ist wichtig, um zu bestimmen, welche Verteilung für die Anlageentscheidung geeignet ist. Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass die zur Ableitung einer logarithmischen Normalverteilung verwendeten Werte normalverteilt sind.

Lassen Sie uns mit einem Beispiel verdeutlichen. Ein Anleger möchte einen erwarteten zukünftigen Aktienkurs kennen. Da die Aktien mit einer zusammengesetzten Rate wachsen, muss sie einen Wachstumsfaktor verwenden. Um mögliche erwartete Kurse zu berechnen, nimmt sie den aktuellen Aktienkurs und multipliziert ihn mit verschiedenen Renditen (die mathematisch abgeleiteten Exponentialfaktoren, die auf der Aufzinsung basieren), die als normalverteilt angenommen werden. Wenn der Investor die Rendite kontinuierlich zusammensetzt, erstellt er eine logarithmische Normalverteilung. Diese Verteilung ist immer positiv, auch wenn einige der Renditen negativ sind, was in 50% der Fälle bei einer Normalverteilung der Fall ist. Der zukünftige Aktienkurs wird immer positiv sein, da die Aktienkurse nicht unter 0 USD fallen können.

Wann ist die normale oder logarithmische Verteilung zu verwenden?

Das vorstehende Beispiel hat uns dabei geholfen, das zu finden, was für Investoren wirklich wichtig ist: wann jede Methode anzuwenden ist. Lognormal ist äußerst nützlich bei der Analyse von Aktienkursen. Solange der verwendete Wachstumsfaktor als normalverteilt angenommen wird (wie wir es bei der Rendite annehmen), ist die logarithmische Normalverteilung sinnvoll. Die Normalverteilung kann nicht zur Modellierung von Aktienkursen verwendet werden, da sie eine negative Seite hat und die Aktienkurse nicht unter Null fallen können.

Eine andere ähnliche Verwendung der logarithmischen Normalverteilung ist die Preisgestaltung von Optionen. Das Black-Scholes-Modell, mit dem Optionen bewertet werden, verwendet die logarithmische Normalverteilung als Grundlage für die Bestimmung der Optionspreise.

Umgekehrt funktioniert die Normalverteilung bei der Berechnung der Gesamtportfoliorenditen besser. Die Normalverteilung wird verwendet, da die gewichtete durchschnittliche Rendite (das Produkt aus dem Gewicht eines Wertpapiers in einem Portfolio und seiner Rendite) die tatsächliche Portfolio-Rendite (positiv oder negativ) genauer beschreibt, insbesondere wenn die Gewichte um a variieren großer grad. Folgendes ist ein typisches Beispiel:

Portfoliopositionen Gewichte Renditen Gewichtete Rendite

Lager A 40% 12% 40% * 12% = 4, 8%

Lager B 60% 6% 60% * 6% = 3, 6%

Total Weighted Average Return = 4, 8% + 3, 6% = 8, 4%

Obwohl die logarithmische Rendite für die Gesamtperformance des Portfolios über einen längeren Zeitraum schneller berechnet werden kann, werden die einzelnen Aktiengewichte nicht erfasst, was die Rendite erheblich verzerren kann. Außerdem können die Portfolioerträge positiv oder negativ sein, und eine logarithmische Normalverteilung kann die negativen Aspekte nicht erfassen.

Die Quintessenz

Obwohl uns die Nuancen, die normale und logarithmische Verteilungen unterscheiden, die meiste Zeit ersparen, liefert die Kenntnis des Erscheinungsbilds und der Merkmale jeder Verteilung einen Einblick in die Modellierung der Portfoliorenditen und der zukünftigen Aktienkurse.