Duration und Konvexität zur Messung des Anleiherisikos

Duration und Konvexität sind zwei Instrumente zur Steuerung des Risikoengagements von festverzinslichen Anlagen. Die Duration misst die Sensitivität der Anleihe gegenüber Zinsänderungen. Konvexität bezieht sich auf die Wechselwirkung zwischen dem Preis einer Anleihe und ihrer Rendite, wenn sich die Zinssätze ändern.

Bei Kuponanleihen verlassen sich Anleger auf eine als Duration bekannte Metrik, um die Preissensitivität einer Anleihe gegenüber Zinsänderungen zu messen. Da eine Kuponanleihe während ihrer gesamten Laufzeit eine Reihe von Zahlungen leistet, müssen festverzinsliche Anleger die durchschnittliche Laufzeit des zugesagten Cashflows einer Anleihe messen, um eine zusammenfassende Statistik der effektiven Laufzeit der Anleihe zu erhalten. Die Duration erreicht dies, sodass festverzinsliche Anleger die Unsicherheit bei der Verwaltung ihrer Portfolios besser einschätzen können.

Die zentralen Thesen

• Bei Kuponanleihen verlassen sich Anleger auf eine Metrik, die als „Duration“ bezeichnet wird, um die Preissensitivität einer Anleihe gegenüber Änderungen der Zinssätze zu messen.
• Mithilfe eines Gap-Management-Tools können Banken die Laufzeiten von Vermögenswerten und Verbindlichkeiten gleichsetzen und so ihre Gesamtposition wirksam gegen Zinsschwankungen immunisieren.

Laufzeit einer Anleihe

1938 nannte der kanadische Ökonom Frederick Robertson Macaulay das Effective-Maturity-Konzept die „Duration“ der Anleihe. Dabei schlug er vor, diese Duration als gewichteten Durchschnitt der Restlaufzeiten der einzelnen Kupons oder Kapitalzahlungen der Anleihe zu berechnen. Macaulays Dauerformel lautet wie folgt:

D = ∑i = 1Tt ∗C (1 + r) t + T ∗F (1 + r) t∑i = 1TC (1 + r) t + F (1 + r) twhere: D = Die MacAulay-Dauer der AnleiheT = die Anzahl der Perioden bis zur Fälligkeit i = der i-te Zeitraum C = die periodische Kuponzahlung r = die periodische Rendite bis zur Fälligkeit F = der Nennwert bei Fälligkeit \ begin {align} & D = \ frac {\ sum_ {i = 1} frac {t * C} {\ left (1 + r \ right) ^ t}} + \ frac {T * F} {\ left (1 + r \ right) ^ t}} {\ sum_ {i = 1} ^ T {\ frac {C} {\ left (1 + r \ right) ^ t}} + \ frac {F} {\ left (1 + r \ right) ^ t}} \\ \ textbf {where:} \\ & D = \ text {Die MacAulay-Duration der Anleihe} \\ & T = \ text {Die Anzahl der Perioden bis zur Fälligkeit} \\ & i = \ text {Der} i ^ {Th} \ text {Zeitraum} \\ & C = \ text {die periodische Couponzahlung} \\ & r = \ text {die periodische Rendite bis zur Fälligkeit} \\ & F = \ text {der Nennwert bei Fälligkeit} \\ \ end {ausgerichtet} wobei: D = ∑i = 1T (1 + r) tC + (1 + r) tFi = 1T (1 + r) ttC + (1 + r) tTFD = Die MacAulay-Dauer der AnleiheT = die Zahl von Perioden bis zur Fälligkeit i = der i-te Zeitraum C = die periodische Couponzahlung r = die periodische Verfallsrendite F = der Nennwert bei Fälligkeit ity

Duration im Fixed Income Management

Die Duration ist aus folgenden Gründen für die Verwaltung von Rentenportfolios von entscheidender Bedeutung:

1. Es ist eine einfache zusammenfassende Statistik der effektiven durchschnittlichen Laufzeit eines Portfolios.
2. Es ist ein wesentliches Instrument, um Portfolios vor Zinsrisiken zu schützen.
3. Es schätzt die Zinssensitivität eines Portfolios.

Die Dauer-Metrik enthält die folgenden Eigenschaften:

• Die Laufzeit einer Nullkuponanleihe entspricht der Restlaufzeit.
• Bei konstanter Laufzeit ist die Duration einer Anleihe niedriger, wenn der Kupon höher ist, da sich frühzeitig höhere Kuponzahlungen auswirken.
• Die Laufzeit einer Anleihe erhöht sich in der Regel mit der Laufzeit, wenn die Kuponrate konstant gehalten wird. Es gibt jedoch Ausnahmen wie bei Instrumenten wie Deep-Discount-Anleihen, bei denen die Duration mit zunehmenden Laufzeiten sinken kann.
• Wenn andere Faktoren konstant bleiben, ist die Laufzeit von Kuponanleihen höher, wenn die Renditen bis zur Fälligkeit der Anleihen niedriger sind. Bei Nullkuponanleihen entspricht die Duration jedoch der Restlaufzeit, unabhängig von der Restlaufzeit.
• Die Dauer des Levels Perpetuity beträgt (1 + y) / y. Beispiel: Bei einer Rendite von 10% beträgt die Dauer der unbefristeten Zahlung von 100 USD pro Jahr 1, 10 / 0, 10 = 11 Jahre. Bei einer Rendite von 8% entspricht dies jedoch 1, 08 / 0, 08 = 13, 5 Jahren. Dieses Prinzip macht deutlich, dass Laufzeit und Laufzeit stark voneinander abweichen können. Beispiel: Die Laufzeit der Ewigkeit ist unendlich, während die Laufzeit des Instruments bei einer Rendite von 10% nur 11 Jahre beträgt. Der barwertgewichtete Cashflow zu Beginn des ewigen Lebens dominiert die Durationsberechnung. (Weitere Informationen zum Portfoliomanagement finden Sie unter Mechanismen für das Aktienportfoliomanagement und Vorbereitung auf eine Karriere als Portfoliomanager .)

Dauer für Gap Management

Viele Banken weisen Inkongruenzen zwischen Aktiva und Passiva auf. Bankverbindlichkeiten, bei denen es sich hauptsächlich um Verbindlichkeiten gegenüber Kunden handelt, sind in der Regel kurzfristiger Natur und weisen eine Statistik mit geringer Duration auf. Die Aktiva einer Bank bestehen dagegen hauptsächlich aus ausstehenden Handels- und Konsumentenkrediten oder Hypotheken. Diese Vermögenswerte haben in der Regel eine längere Laufzeit und ihre Werte reagieren empfindlicher auf Zinsschwankungen. In Zeiten, in denen die Zinssätze unerwartet ansteigen, kann es zu einem drastischen Rückgang des Nettovermögens der Banken kommen, wenn ihr Vermögen weiter an Wert verliert als ihre Verbindlichkeiten.

Eine in den späten 1970er und frühen 1980er Jahren entwickelte Technik namens Gap Management ist ein weit verbreitetes Risikomanagementinstrument, mit dem Banken versuchen, die "Lücke" zwischen Aktiva und Passiva zu schließen. Das Gap-Management stützt sich in hohem Maße auf variabel verzinsliche Hypotheken (ARMs) als Schlüsselkomponenten für die Verkürzung der Laufzeit von Bankaktiva-Portfolios. Im Gegensatz zu herkömmlichen Hypotheken verlieren ARMs bei steigenden Marktzinsen nicht an Wert, da die von ihnen gezahlten Zinssätze an den aktuellen Zinssatz gebunden sind.

Auf der anderen Seite der Bilanz dient die Einführung von längerfristigen Bankeinlagenzertifikaten (CD) mit fester Laufzeit zur Verlängerung der Laufzeit der Bankverbindlichkeiten und trägt ebenfalls zur Verringerung der Laufzeitlücke bei. (Weitere Informationen zu finanziellen Lücken finden Sie unter "Lücke spielen" .)

Grundlegendes zum Gap-Management

Banken setzen das Gap-Management ein, um die Laufzeiten von Vermögenswerten und Verbindlichkeiten gleichzusetzen und ihre Gesamtposition wirksam gegen Zinsschwankungen zu immunisieren. Theoretisch sind die Aktiva und Passiva einer Bank ungefähr gleich groß. Daher wird sich eine Änderung der Zinssätze bei gleicher Laufzeit in gleichem Maße auf den Wert der Vermögenswerte und Schulden auswirken, so dass Zinsänderungen keine oder nur geringe Auswirkungen auf das Nettovermögen haben. Daher erfordert eine vermögende Immunisierung eine Portfoliodauer oder -lücke von null. (Weitere Informationen zu Aktiva und Passiva von Banken finden Sie unter Analysieren des Jahresabschlusses einer Bank .)

Institute mit künftigen festen Verpflichtungen wie Pensionskassen und Versicherungen unterscheiden sich von Banken darin, dass sie im Hinblick auf künftige Verpflichtungen tätig sind. Beispielsweise sind Pensionskassen verpflichtet, über ausreichende Mittel zu verfügen, um den Arbeitnehmern bei Eintritt in den Ruhestand einen Einkommensfluss zu ermöglichen. Wenn die Zinssätze schwanken, schwanken auch der Wert der vom Fonds gehaltenen Vermögenswerte und der Zinssatz, mit dem diese Vermögenswerte Erträge erzielen. Aus diesem Grund möchten Portfoliomanager möglicherweise den künftigen kumulierten Wert des Fonds zu einem bestimmten Zeitpunkt gegen Zinsschwankungen schützen (immunisieren). Mit anderen Worten, durch die Impfung werden Vermögenswerte und Verbindlichkeiten mit angepasster Laufzeit abgesichert, sodass eine Bank ihren Verpflichtungen unabhängig von Zinsschwankungen nachkommen kann. (Weitere Informationen zu den Verpflichtungen von Pensionskassen finden Sie unter Analyse des Pensionsrisikos .)

Konvexität im Fixed Income Management

Leider ist die Duration als Maß für die Zinssensitivität begrenzt. Während die Statistik ein lineares Verhältnis zwischen Preis- und Renditeänderungen bei Anleihen berechnet, ist das Verhältnis zwischen Preis- und Renditeänderungen in der Realität konvex.

In Abbildung 1 stellt die Kurve die Preisänderung bei einer Änderung der Renditen dar. Die Gerade, die tangential zur Kurve verläuft, stellt die geschätzte Preisänderung über die Durationsstatistik dar. Der schattierte Bereich zeigt den Unterschied zwischen der geschätzten Duration und der tatsächlichen Preisbewegung. Wie angegeben, ist der Fehler bei der Schätzung der Kursänderung der Anleihe umso größer, je größer die Änderung der Zinssätze ist.

Abbildung 1

Die Konvexität, ein Maß für die Krümmung der Änderungen des Preises einer Anleihe im Verhältnis zu Änderungen der Zinssätze, behebt diesen Fehler, indem sie die Änderung der Duration bei schwankenden Zinssätzen misst. Die Formel lautet wie folgt:

C = d2 (B (r)) B ∗ d ∗ r2wobei: C = KonvexitätB = der Bondpreis = die Verzinsung = Dauer \ begin {align} & C = \ frac {d ^ 2 \ left (B \ left (r \ right) \ right)} {B * d * r ^ 2} \\ & \ textbf {where:} \\ & C = \ text {convexity} \\ & B = \ text {the bond price} \\ & r = \ Text {der Zinssatz} \\ & d = \ text {Duration} \\ \ end {aligniert} C = B ∗ d ∗ r2d2 (B (r)) wobei: C = KonvexitätB = der Anleihenpreis = das Zinsrating = Dauer

Im Allgemeinen ist die Konvexität umso geringer, je höher der Kupon ist, da eine 5% -Anleihe empfindlicher auf Zinsänderungen reagiert als eine 10% -Anleihe. Aufgrund der Call-Funktion weisen kündbare Anleihen eine negative Konvexität auf, wenn die Renditen zu niedrig sind. Dies bedeutet, dass die Duration abnimmt, wenn die Renditen sinken. Nullkuponanleihen weisen die höchste Konvexität auf, wobei Beziehungen nur dann gültig sind, wenn die verglichenen Anleihen die gleiche Laufzeit und Laufzeitrendite aufweisen. Hinweis: Eine Anleihe mit hoher Konvexität reagiert empfindlicher auf Änderungen der Zinssätze und sollte daher größere Kursschwankungen aufweisen, wenn sich die Zinssätze ändern.

Das Gegenteil gilt für Anleihen mit geringer Konvexität, deren Kurse bei Zinsänderungen nicht so stark schwanken. Bei einer grafischen Darstellung in einem zweidimensionalen Diagramm sollte diese Beziehung eine lang abfallende U-Form erzeugen (daher der Begriff "konvex").

Niedrig- und Nullkuponanleihen, die tendenziell niedrigere Renditen aufweisen, weisen die höchste Zinsvolatilität auf. In technischer Hinsicht bedeutet dies, dass die modifizierte Duration der Anleihe eine größere Anpassung erfordert, um mit der höheren Preisänderung nach Zinsänderungen Schritt zu halten. Niedrigere Kuponraten führen zu niedrigeren Renditen und niedrigere Renditen zu höheren Konvexitätsgraden.

(Informationen zu den mit kündbaren und anderen Anleihen verbundenen Risiken finden Sie unter Kündigungsmöglichkeiten: Nicht überrumpeln und Unternehmensanleihen: Eine Einführung in das Kreditrisiko .)

Die Quintessenz

Sich ständig ändernde Zinssätze führen zu Unsicherheiten bei festverzinslichen Anlagen. Die Duration und die Konvexität ermöglichen es den Anlegern, diese Unsicherheit zu quantifizieren und sie bei der Verwaltung ihrer festverzinslichen Portfolios zu unterstützen.

Weitere Informationen zu festverzinslichen Anlagen finden Sie unter Erstellen des modernen festverzinslichen Portfolios und häufige Fehler beim Anleihekauf .