Der Unterschied zwischen arithmetischem Mittel und geometrischem Mittel

Es gibt viele Möglichkeiten, die Performance eines Finanzportfolios zu messen und festzustellen, ob eine Anlagestrategie erfolgreich ist. Investmentprofis verwenden dazu häufig den geometrischen Durchschnitt , der üblicherweise als geometrischer Mittelwert bezeichnet wird.

Das geometrische Mittel unterscheidet sich vom arithmetischen Mittel oder arithmetischen Mittel darin, wie es berechnet wird, weil es die von Periode zu Periode auftretende Aufzinsung berücksichtigt. Aus diesem Grund betrachten Anleger das geometrische Mittel in der Regel als genaueres Maß für die Rendite als das arithmetische Mittel.

Die Formel für den arithmetischen Durchschnitt

A = 1n∑i = 1nai = a1 + a2 + ... + annwhere: a1, a2, ..., an = Portfolioertrag für Periode nn = Anzahl der Perioden \ begin {align} & A = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n a_i = \ frac {a_1 + a_2 + \ dotso + a_n} {n} \\ & \ textbf {Dabei gilt Folgendes:} \\ & a_1, a_2, \ dotso, a_n = \ text {Portfolio kehrt zurück für Punkt} n \\ & n = \ Text {Anzahl der Punkte} \\ \ Ende {ausgerichtet} A = n1 i = 1 =n ai = na1 + a2 +… + an wobei: a1, a2, …, an = Portfolioertrag für Periode nn = Anzahl der Perioden

Arithmetisches Mittel

So berechnen Sie den arithmetischen Durchschnitt

Ein arithmetischer Durchschnitt ist die Summe einer Reihe von Zahlen geteilt durch die Zählung dieser Reihe von Zahlen.

Wenn Sie aufgefordert würden, den Klassenmittelwert der Testergebnisse (arithmetisch) zu ermitteln, würden Sie einfach alle Testergebnisse der Schüler addieren und diese Summe durch die Anzahl der Schüler dividieren. Wenn zum Beispiel fünf Schüler eine Prüfung ablegen und ihre Punktzahl 60%, 70%, 80%, 90% und 100% beträgt, liegt der Durchschnitt der arithmetischen Klassen bei 80%.

Dies würde berechnet werden als:

60% + 70% + 80% + 90% + 100% 5 = 80% \ begin {align} & \ frac {60 \% + 70 \% + 80 \% + 90 \% + 100 \%} {5 } = 80 \% \\ \ end {align} 560% + 70% + 80% + 90% + 100% = 80%

Der Grund, warum wir einen arithmetischen Durchschnitt für die Testergebnisse verwenden, ist, dass jedes Ergebnis ein unabhängiges Ereignis ist. Wenn ein Schüler bei der Prüfung schlechte Leistungen erbringt, werden die Chancen des nächsten Schülers, bei der Prüfung schlechte (oder gute) Leistungen zu erbringen, nicht beeinträchtigt.

In der Finanzwelt ist das arithmetische Mittel normalerweise keine geeignete Methode zur Berechnung eines Durchschnitts. Betrachten Sie zum Beispiel Anlagerenditen. Angenommen, Sie haben Ihre Ersparnisse fünf Jahre lang auf den Finanzmärkten angelegt. Wenn Ihre Portfoliorenditen jedes Jahr 90%, 10%, 20%, 30% und -90% betragen würden, wie hoch wäre Ihre durchschnittliche Rendite in diesem Zeitraum?

Beim arithmetischen Durchschnitt wäre die durchschnittliche Rendite 12%, was auf den ersten Blick beeindruckend erscheint - aber nicht ganz richtig. Das liegt daran, dass die jährlichen Anlagerenditen nicht unabhängig voneinander sind. Wenn Sie in einem bestimmten Jahr eine erhebliche Menge an Geld verlieren, haben Sie in den folgenden Jahren so viel weniger Kapital, um zu investieren und Erträge zu erwirtschaften.

Wir müssten den geometrischen Durchschnitt Ihrer Anlagerenditen berechnen, um eine genaue Messung Ihrer tatsächlichen durchschnittlichen jährlichen Rendite über den Fünfjahreszeitraum zu erhalten.

Die Formel für den geometrischen Durchschnitt

(∏i = 1nxi) 1n = x1x2… xnnwhere: x1, x2, ⋯ = Portfolioerträge für jede Periode n = Anzahl der Perioden \ begin {align} & \ left (\ prod_ {i = 1} ^ n x_i \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ sqrt [n] {x_1 x_2 \ dots x_n} \\ & \ textbf {Dabei gilt Folgendes:} \\ & x_1, x_2, \ dots = \ text {Portfolio kehrt für jede Periode zurück } \\ & n = \ text {Anzahl der Punkte} \\ \ end {ausgerichtet} (i = 1 =n xi) n1 = nx1 x2… xn wobei: x1, x2, ⋯ = Portfolioerträge für jede Periode = Anzahl der Perioden

So berechnen Sie den geometrischen Durchschnitt

Der geometrische Mittelwert für eine Reihe von Zahlen wird berechnet, indem das Produkt dieser Zahlen genommen und auf den Kehrwert der Länge der Reihe angehoben wird.

Dazu fügen wir jeder Zahl eine hinzu (um Probleme mit negativen Prozentsätzen zu vermeiden). Multiplizieren Sie dann alle Zahlen und erhöhen Sie ihr Produkt auf die Potenz eins geteilt durch die Anzahl der Zahlen in der Reihe. Dann subtrahieren wir eins vom Ergebnis.

Die in Dezimalzahlen geschriebene Formel sieht folgendermaßen aus:

[(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3)… × (1 + Rn)] 1n - 1wo: R = Returnn = Anzahl der Zahlen in der Reihe \ begin {align} & [( 1 + \ text {R} _1) \ times (1 + \ text {R} _2) \ times (1 + \ text {R} _3) \ dotso \ times (1 + \ text {R} _n)] ^ { \ frac {1} {n}} - 1 \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {R} = \ text {Return} \\ & n = \ text {Anzahl der Zahlen in der Reihe} \ \ \ end {align} [(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3)… × (1 + Rn)] n1 −1where: R = Returnn = Anzahl der Zahlen in der Serie

Die Formel scheint ziemlich intensiv zu sein, aber auf dem Papier ist sie nicht so komplex. Um zu unserem Beispiel zurückzukehren, berechnen wir den geometrischen Durchschnitt: Unsere Renditen betrugen 90%, 10%, 20%, 30% und -90%. Deshalb fügen wir sie in die Formel wie folgt ein:

(1, 9 × 1, 1 × 1, 2 × 1, 3 × 0, 1) 15–1 \ begin {align} & (1, 9 \ times 1, 1 \ times 1, 2 \ times 1, 3 \ times 0, 1) ^ {\ frac {1} {5}} -1 \ \ \ ende {ausgerichtet} (1, 9 × 1, 1 × 1, 2 × 1, 3 × 0, 1) 51 –1

Das Ergebnis ergibt eine geometrische durchschnittliche jährliche Rendite von -20, 08%. Das Ergebnis unter Verwendung des geometrischen Durchschnitts ist viel schlechter als das zuvor berechnete arithmetische Mittel von 12%, und in diesem Fall ist es leider auch die Zahl, die die Realität darstellt.

Die zentralen Thesen

• Das geometrische Mittel ist am besten für Serien geeignet, die eine serielle Korrelation aufweisen. Dies gilt insbesondere für Investmentportfolios.
• Die meisten Renditen im Finanzbereich sind korreliert, einschließlich Renditen auf Anleihen, Aktienrenditen und Marktrisikoprämien. Je länger der Zeithorizont ist, desto kritischer wird das Compoundieren und desto geeigneter ist die Verwendung des geometrischen Mittels.
• Bei flüchtigen Zahlen liefert der geometrische Durchschnitt eine weitaus genauere Messung der tatsächlichen Rendite, indem die Jahr-zu-Jahr-Verzinsung berücksichtigt wird.