Schwarzes Scholes Modell
Das Black-Scholes-Merton-Modell (BSM) ist ein mathematisches Modell für die Preisgestaltung eines Optionskontrakts. Das Modell schätzt insbesondere die zeitliche Veränderung von Finanzinstrumenten wie Aktien und leitet aus der impliziten Volatilität des Basiswerts den Preis einer Kaufoption ab.
Die zentralen Thesen
- Das Black-Scholes-Merton-Modell (BSM) ist eine Differentialgleichung, die zur Lösung von Optionspreisen verwendet wird.
- Das Modell wurde mit dem Wirtschaftsnobelpreis ausgezeichnet.
- Das Standard-BSM-Modell wird nur zur Bewertung europäischer Optionen verwendet und berücksichtigt nicht, dass US-Optionen vor dem Ablaufdatum ausgeübt werden könnten.
Die Grundlagen des Black-Scholes-Modells
Das Modell geht davon aus, dass der Preis von stark gehandelten Vermögenswerten einer geometrischen Brownschen Bewegung mit konstanter Drift und Volatilität folgt. Bei der Anwendung auf eine Aktienoption berücksichtigt das Modell die konstante Kursschwankung der Aktie, den Zeitwert des Geldes, den Ausübungspreis der Option und die Zeit bis zum Ablauf der Option.
Es wurde auch als Black-Scholes-Merton bezeichnet und war das erste weit verbreitete Modell für Optionspreise. Es wird verwendet, um den theoretischen Wert von Optionen unter Verwendung der aktuellen Aktienkurse, der erwarteten Dividenden, des Ausübungspreises der Option, der erwarteten Zinssätze, der Restlaufzeit und der erwarteten Volatilität zu berechnen.
Die Formel, die von drei Ökonomen - Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton - entwickelt wurde, ist möglicherweise das bekannteste Optionspreismodell der Welt. Es wurde in ihrem 1973 im Journal of Political Economy veröffentlichten Aufsatz "The Pricing of Options and Corporate Liabilities" vorgestellt. Schwarz verstarb zwei Jahre, bevor Scholes und Merton 1997 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften für die Suche nach einer neuen Methode zur Bestimmung des Wertes von Derivaten erhielten (der Nobelpreis wird nicht posthum vergeben, das Nobelkomitee räumte jedoch die Rolle von Schwarz in der Wirtschaft ein Black-Scholes-Modell).
Das Black-Scholes-Modell geht von folgenden Annahmen aus:
- Die Option ist europäisch und kann erst nach Ablauf ausgeübt werden.
- Während der Laufzeit der Option werden keine Dividenden ausgezahlt.
- Märkte sind effizient (dh Marktbewegungen können nicht vorhergesagt werden).
- Beim Kauf der Option fallen keine Transaktionskosten an.
- Der risikofreie Zinssatz und die Volatilität des Basiswerts sind bekannt und konstant.
- Die Renditen auf den Basiswert sind normalverteilt.
Während das ursprüngliche Black-Scholes-Modell die Auswirkungen von Dividenden, die während der Laufzeit der Option gezahlt wurden, nicht berücksichtigte, wird das Modell häufig angepasst, um Dividenden zu berücksichtigen, indem der ex-Dividenden-Datumswert der zugrunde liegenden Aktie bestimmt wird.
Die Black-Scholes-Formel
Die Mathematik der Formel ist kompliziert und kann einschüchternd sein. Glücklicherweise müssen Sie die Mathematik nicht kennen oder gar verstehen, um die Black-Scholes-Modellierung in Ihren eigenen Strategien zu verwenden. Optionshändler haben Zugriff auf eine Vielzahl von Online-Optionsrechnern, und viele der heutigen Handelsplattformen verfügen über robuste Tools zur Optionsanalyse, einschließlich Indikatoren und Tabellenkalkulationen, die die Berechnungen durchführen und die Optionspreiswerte ausgeben.
Die Black-Scholes-Call-Option-Formel wird berechnet, indem der Aktienkurs mit der kumulativen normalen Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion multipliziert wird. Danach wird der Barwert des Ausübungspreises multipliziert mit der kumulierten Standardnormalverteilung vom sich ergebenden Wert der vorherigen Berechnung abgezogen.
In mathematischer Notation:
C = StN (d1) - Ke - rtN (d2) wobei: d1 = lnStK + (r + σv22) ts tandd2 = d1 - s twhere: C = KaufoptionspreisS = Aktueller Aktienkurs (oder anderer Basiswert) K = Basispreis = Risikofreier Zinssatz = RestlaufzeitN = Normalverteilung \ begin {align} & C = S_t N (d _1) - K e ^ {- rt} N (d _2) \\ & \ textbf {where:} \\ & d_1 = \ frac {ln \ frac {S_t} {K} + (r + \ frac {\ sigma ^ {2} _v} {2}) \ t} {\ sigma_s \ \ sqrt {t}} \\ & \ text {und} \\ & d_2 = d _1 - \ sigma_s \ \ sqrt {t} \\ & \ textbf {wobei:} \\ & C = \ text {Kaufoptionspreis} \\ & S = \ text {Aktueller Bestand (oder anderer Basiswert) Kurs} \\ & K = \ text {Basispreis} \\ & r = \ text {Risikofreier Zinssatz} \\ & t = \ text {Restlaufzeit} \\ & N = \ text {Normalverteilung} \ \ \ end {align} C = St N (d1) - Ke - rtN (d2) wobei: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) t undd2 = d1 −σs t wobei: C = KaufoptionspreisS = Aktueller Aktienkurs (oder sonstiger Basiswert) K = Ausübungspreis = Risikofreier Zinssatz = RestlaufzeitN = Eine normale Ausschüttung
1:33Black-Scholes-Modell
Was sagt Ihnen das Black-Scholes-Modell?
Das Black-Scholes-Modell ist eines der wichtigsten Konzepte der modernen Finanztheorie. Es wurde 1973 von Fischer Black, Robert Merton und Myron Scholes entwickelt und ist bis heute weit verbreitet. Es gilt als eine der besten Möglichkeiten, um faire Optionspreise zu ermitteln. Das Black-Scholes-Modell erfordert fünf Eingabevariablen: den Ausübungspreis einer Option, den aktuellen Aktienkurs, die Restlaufzeit, den risikofreien Zinssatz und die Volatilität.
Das Modell geht davon aus, dass die Aktienkurse einer logarithmischen Normalverteilung folgen, da die Vermögenspreise nicht negativ sein können (sie sind durch Null begrenzt). Dies wird auch als Gaußsche Verteilung bezeichnet. Häufig wird beobachtet, dass die Vermögenspreise eine erhebliche Schräglage und einen gewissen Grad an Kurtosis (Fettschwänze) aufweisen. Dies bedeutet, dass Abwärtsbewegungen mit hohem Risiko am Markt häufig häufiger vorkommen, als es eine normale Verteilung vorhersagt.
Die Annahme lognormaler zugrunde liegender Vermögenspreise sollte daher zeigen, dass die impliziten Volatilitäten für jeden Ausübungspreis nach dem Black-Scholes-Modell ähnlich sind. Seit dem Marktcrash von 1987 waren die impliziten Volatilitäten für die Geldoptionen jedoch niedriger als diejenigen, die weiter außerhalb des Geldes oder weit außerhalb des Geldes liegen. Der Grund für dieses Phänomen ist, dass der Markt mit größerer Wahrscheinlichkeit eine hohe Volatilität einpreist, die auf den Märkten nach unten geht.
Dies hat zu einer Volatilitätsverschiebung geführt. Wenn die impliziten Volatilitäten für Optionen mit demselben Verfallsdatum in einem Diagramm dargestellt werden, ist ein Lächeln oder eine Schrägstellung zu erkennen. Das Black-Scholes-Modell ist daher für die Berechnung der impliziten Volatilität nicht effizient.
Einschränkungen des Black-Scholes-Modells
Wie bereits erwähnt, wird das Black-Scholes-Modell nur zur Bewertung europäischer Optionen verwendet und berücksichtigt nicht, dass US-Optionen vor dem Ablaufdatum ausgeübt werden könnten. Darüber hinaus geht das Modell davon aus, dass Dividenden und risikofreie Zinssätze konstant sind, was in der Realität jedoch möglicherweise nicht zutrifft. Das Modell geht auch davon aus, dass die Volatilität über die Laufzeit der Option konstant bleibt, was nicht der Fall ist, da die Volatilität mit der Höhe von Angebot und Nachfrage schwankt.
Darüber hinaus geht das Modell davon aus, dass keine Transaktionskosten oder Steuern anfallen. dass der risikofreie Zinssatz für alle Laufzeiten konstant ist; Der Leerverkauf von Wertpapieren unter Verwendung von Erlösen ist zulässig. und dass es keine risikolosen Arbitrage-Möglichkeiten gibt. Diese Annahmen können zu Preisen führen, die von der realen Welt abweichen, in der diese Faktoren vorliegen.