Zinseszins
Zinseszinsen (oder Zinseszinsen) sind Zinsen, die auf das Anfangskapital berechnet werden und alle aufgelaufenen Zinsen früherer Perioden einer Einlage oder eines Kredits enthalten. Der Zinseszins, der ursprünglich aus dem 17. Jahrhundert in Italien stammte, kann als Zinseszins betrachtet werden und lässt eine Summe schneller wachsen als einfache Zinsen, die nur auf dem Kapitalbetrag berechnet werden.
Die zentralen Thesen
- Zinseszinsen (oder Zinseszinsen) sind Zinsen, die auf das Anfangskapital berechnet werden und alle aufgelaufenen Zinsen früherer Perioden einer Einlage oder eines Kredits enthalten.
- Zinseszinsen werden berechnet, indem der anfängliche Kapitalbetrag mit eins plus dem jährlichen Zinssatz multipliziert wird, der auf die Anzahl der Zinsperioden minus eins erhöht wird.
- Die Zinsen können auf einen bestimmten Frequenzplan aufgeschlüsselt werden, von kontinuierlich über täglich bis jährlich.
- Bei der Berechnung des Zinseszinses spielt die Anzahl der Zinsperioden eine wesentliche Rolle.
Die Rate, mit der Zinseszinsen anfallen, hängt von der Häufigkeit der Aufzinsung ab. Je höher die Anzahl der Aufzinsungsperioden, desto höher die Zinseszinsen. Somit ist der Betrag der Zinseszinsen für 100 USD, die mit 10% pa verzinst werden, niedriger als der für 100 USD, die mit 5% pa verzinst werden, halbjährlich während desselben Zeitraums. Da der Zins-Zins-Effekt auf der Grundlage des anfänglichen Kapitalbetrags zunehmend positive Renditen erzielen kann, wurde er manchmal als "Wunder des Zinseszinses" bezeichnet.
1:59Grundlegendes zu Zinseszinsen
Berechnung des Zinseszinses
Zinseszinsen werden berechnet, indem der anfängliche Kapitalbetrag mit eins plus dem jährlichen Zinssatz multipliziert wird, der auf die Anzahl der Zinsperioden minus eins erhöht wird. Der anfängliche Gesamtbetrag des Darlehens wird dann vom resultierenden Wert abgezogen.
Die Formel zur Berechnung des Zinseszinses lautet:
Zinseszins = Gesamtbetrag des Kapitals und des Anteils am zukünftigen (oder zukünftigen Wert) abzüglich des Kapitalbetrags zum gegenwärtigen (oder gegenwärtigen Wert)
= [P (1 + i ) n ] - P
= P [(1 + i ) n - 1]
(Wobei P = Kapital, i = nominaler jährlicher Zinssatz in Prozent und n = Anzahl der Zinsperioden.)
Nehmen Sie ein dreijähriges Darlehen in Höhe von 10.000 USD zu einem Zinssatz von 5% auf, das sich jährlich addiert. Was wäre der Betrag von Interesse ">
Wachstum des Zinseszinses
Bei Verwendung des obigen Beispiels ist der Zinsbetrag nicht für alle drei Jahre gleich, da der Zinseszins auch die in früheren Perioden aufgelaufenen Zinsen berücksichtigt, wie dies bei einfachen Zinsen der Fall wäre. Während die Gesamtverzinsung für den Dreijahreszeitraum dieses Darlehens 1.576, 25 USD beträgt, sind die am Ende eines jeden Jahres zu zahlenden Zinsen in der nachstehenden Tabelle aufgeführt.
Aufzinsungsperioden
Bei der Berechnung des Zinseszinses spielt die Anzahl der Zinsperioden eine wesentliche Rolle. Die Grundregel lautet: Je höher die Anzahl der Zinsperioden, desto höher der Zinseszins.
Die folgende Tabelle zeigt den Unterschied, den die Anzahl der Zinsperioden für ein Darlehen in Höhe von 10.000 USD mit einem jährlichen Zinssatz von 10% über einen Zeitraum von 10 Jahren ausmachen kann.
Zinseszinsen können die Anlagerendite langfristig erheblich steigern. Während eine Einzahlung in Höhe von 100.000 USD, für die 5% einfache Zinsen gezahlt werden, über einen Zeitraum von 10 Jahren 50.000 USD an Zinsen einbringen würde, würden sich Zinseszinsen in Höhe von 5% auf 10.000 USD im selben Zeitraum auf 62.889, 46 USD belaufen.
Excel Compounding Berechnung
Wenn es schon eine Weile her ist, dass du Matheunterricht hast, fürchte dich nicht: Es gibt nützliche Tools, die dir dabei helfen, Zahlen zu berechnen. Viele Taschenrechner (sowohl handheld- als auch computerbasiert) verfügen über Exponentenfunktionen, die für diese Zwecke verwendet werden können. Wenn kompliziertere Compoundierungsaufgaben auftreten, können diese mithilfe von Microsoft Excel auf drei verschiedene Arten ausgeführt werden.
- Die erste Methode zur Berechnung des Zinseszinses ist die Multiplikation des neuen Saldos jedes Jahres mit dem Zinssatz. Angenommen, Sie zahlen 1.000 USD auf ein Sparkonto mit einem Zinssatz von 5% ein, der sich jährlich addiert, und Sie möchten den Saldo in fünf Jahren berechnen. Geben Sie in dem Microsoft Excel "Year" in Zelle A1 und "Balance" in Zelle B1 ein. Geben Sie die Jahre 0 bis 5 in die Zellen A2 bis A7 ein. Der Saldo für das Jahr 0 beträgt 1.000 US-Dollar. Geben Sie also "1000" in die Zelle B2 ein. Geben Sie als Nächstes "= B2 * 1.05" in Zelle B3 ein. Geben Sie dann "= B3 * 1.05" in Zelle B4 ein und fahren Sie damit fort, bis Sie zu Zelle B7 gelangen. In Zelle B7 ist die Berechnung "= B6 * 1, 05". Schließlich ist der berechnete Wert in Zelle B7 - 1.276, 28 USD - der Saldo auf Ihrem Sparkonto nach fünf Jahren. Um den Zinseszinswert zu ermitteln, ziehen Sie 1.000 USD von 1.276, 28 USD ab. Dies ergibt einen Wert von 276, 28 USD.
- Die zweite Möglichkeit, Zinseszinsen zu berechnen, ist die Verwendung einer festen Formel. Die Zinseszinsformel lautet ((P * (1 + i) ^ n) - P), wobei P das Kapital ist, i der jährliche Zinssatz ist und n die Anzahl der Perioden ist. Geben Sie unter Verwendung der obigen Informationen "Hauptwert" in Zelle A1 und 1000 in Zelle B1 ein. Geben Sie als nächstes "Zinssatz" in Zelle A2 und ".05" in Zelle B2 ein. Geben Sie "zusammengesetzte Perioden" in Zelle A3 und "5" in Zelle B3 ein. Jetzt können Sie den Zinseszins in Zelle B4 berechnen, indem Sie "= (B1 * (1 + B2) ^ B3) -B1" eingeben. Dies ergibt 276, 28 USD.
- Eine dritte Möglichkeit, Zinseszinsen zu berechnen, besteht darin, eine Makrofunktion zu erstellen. Starten Sie zunächst den Visual Basic-Editor, der sich auf der Registerkarte Entwickler befindet. Klicken Sie im Menü Einfügen auf Modul. Geben Sie dann in die erste Zeile "Function Compound_Interest (P As Double, i As Double, n As Double) As Double" ein. Drücken Sie in der zweiten Zeile die Tabulatortaste und geben Sie "Compound_Interest = (P * (1 + i) ^ n) - P" ein. Geben Sie in der dritten Zeile des Moduls "End Function" ein. Sie haben ein Funktionsmakro zur Berechnung des Zinseszinses angelegt. Ausgehend von demselben Excel-Arbeitsblatt oben geben Sie "Zinseszins" in Zelle A6 ein und geben Sie "= Zinseszins (B1, B2, B3)" ein. Dies ergibt einen Wert von 276, 28 USD, der mit den ersten beiden Werten übereinstimmt.
Andere Taschenrechner verwenden
Wie oben erwähnt, werden online eine Reihe von kostenlosen Zinseszinsrechnern angeboten, und viele Taschenrechner können diese Aufgaben auch ausführen.
- Der kostenlose Zinseszinsrechner, der über Financial-Calculators.com angeboten wird, ist einfach zu bedienen und bietet eine Auswahl an Zinseszinsfrequenzen von täglich bis jährlich. Es enthält eine Option zur Auswahl der fortlaufenden Zusammenstellung und ermöglicht die Eingabe des tatsächlichen Start- und Enddatums des Kalenders. Nach Eingabe der erforderlichen Berechnungsdaten werden die erzielten Zinsen, der zukünftige Wert, die jährliche prozentuale Rendite (APY), bei der es sich um ein Maß für die Aufzinsung handelt, und die täglichen Zinsen angezeigt.
- Investor.gov, eine Website der US-amerikanischen Börsenaufsicht SEC (Securities and Exchange Commission), bietet einen kostenlosen Online-Zinseszinsrechner an. Der Taschenrechner ist recht einfach, ermöglicht jedoch die Eingabe von monatlichen zusätzlichen Einzahlungen in den Auftraggeber, was für die Berechnung der Einnahmen hilfreich ist, wenn zusätzliche monatliche Einsparungen vorgenommen werden.
- Ein kostenloser Online-Zinsrechner mit einigen weiteren Funktionen ist auf TheCalculatorSite.com verfügbar. Dieser Rechner ermöglicht die Berechnung verschiedener Währungen, die Berücksichtigung monatlicher Ein- oder Auszahlungen sowie die Möglichkeit, inflationsbereinigte Erhöhungen der monatlichen Ein- oder Auszahlungen automatisch berechnen zu lassen.
Die Häufigkeit der Compoundierung
Die Zinsen können von täglich bis jährlich auf einen bestimmten Zeitplan aufgeschlüsselt werden. Es gibt Standard-Zeitpläne für die Aufzinsung, die normalerweise auf Finanzinstrumente angewendet werden.
Der übliche Aufzinsungsplan für Sparkonten bei einer Bank ist täglich. Typische Zeitpläne für die Compounding-Häufigkeit einer CD sind täglich, monatlich oder halbjährlich. für Geldmarktkonten ist es oft täglich. Für Hypothekendarlehen, Eigenheimdarlehen, persönliche Geschäftsdarlehen oder Kreditkartenkonten ist der am häufigsten angewendete Aufzinsungsplan monatlich. Es kann auch Abweichungen im Zeitrahmen geben, in dem die aufgelaufenen Zinsen tatsächlich dem vorhandenen Saldo gutgeschrieben werden. Die Zinsen eines Kontos können täglich berechnet, jedoch nur monatlich gutgeschrieben werden. Erst wenn die Zinsen tatsächlich gutgeschrieben oder dem vorhandenen Guthaben hinzugefügt werden, werden zusätzliche Zinsen auf dem Konto gutgeschrieben.
Einige Banken bieten auch sogenannte Continuous-Compounding-Zinsen an, die dem Kapital zu jedem möglichen Zeitpunkt Zinsen hinzufügen. In der Praxis fallen nur Zinserträge an, wenn Sie am selben Tag Geld ein- und ausgeben möchten.
Eine häufigere Aufzinsung von Zinsen kommt dem Anleger oder Gläubiger zugute. Für einen Kreditnehmer ist das Gegenteil der Fall.
Zeitwert der Geldbetrachtung
Für Anleger, die ihre Einkommens- und Vermögensallokation optimieren möchten, ist es wichtig, den Zeitwert des Geldes und das exponentielle Wachstum zu verstehen, das durch die Aufzinsung entsteht.
Die Formel zum Erhalten des zukünftigen Werts (FV) und des gegenwärtigen Werts (PV) lautet wie folgt:
FV = PV (1 + i) n und PV = FV / (1 + i) n
Zum Beispiel wird der zukünftige Wert von 10.000 USD für drei Jahre auf 5% pa geschätzt:
= 10.000 USD (1 + 0, 05) 3
= 10.000 US-Dollar (1.157625)
= 11.576, 25 USD
Der Barwert von 11.576, 25 USD wurde drei Jahre lang mit 5% abgezinst:
= 11.576, 25 USD / (1 + 0, 05) 3
= 11.576, 25 USD / 1.157.625 USD
= 10.000 USD
Der Kehrwert von 1, 157625, der 0, 8638376 entspricht, ist in diesem Fall der Abzinsungsfaktor.
Die "Regel von 72" -Überlegung
Die sogenannte Regel von 72 berechnet die ungefähre Zeit, in der sich eine Investition bei einer bestimmten Rendite oder einem bestimmten Zins „i“ verdoppelt, und ist gegeben durch (72 / i). Es kann nur für die jährliche Aufzinsung verwendet werden.
Beispielsweise wird sich eine Investition mit einer jährlichen Rendite von 6% in 12 Jahren verdoppeln.
Eine Investition mit einer jährlichen Rendite von 8% wird sich somit in neun Jahren verdoppeln.
Compound Annual Growth Rate (CAGR)
Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR) wird für die meisten Finanzanwendungen verwendet, die die Berechnung einer einzelnen Wachstumsrate über einen bestimmten Zeitraum erfordern.
Nehmen wir an, Ihr Anlageportfolio ist in fünf Jahren von 10.000 USD auf 16.000 USD gewachsen. Was ist die CAGR? Im Wesentlichen bedeutet dies, dass PV = - 10.000 USD, FV = 16.000 USD, nt = 5, sodass die Variable „i“ berechnet werden muss. Mit einem Finanzrechner oder Excel kann gezeigt werden, dass i = 9, 86%.
(Beachten Sie, dass gemäß der Cashflow-Konvention Ihre anfängliche Investition (PV) in Höhe von 10.000 USD mit einem negativen Vorzeichen angezeigt wird, da dies einen Mittelabfluss darstellt. PV und FV müssen zwangsläufig ein entgegengesetztes Vorzeichen haben, um nach dem obigen „i“ zu suchen Gleichung).
CAGR Real-Life-Anwendungen
Der CAGR wird in großem Umfang zur Berechnung der Rendite von Aktien, Investmentfonds und Anlageportfolios über einen bestimmten Zeitraum verwendet. Der CAGR wird auch verwendet, um festzustellen, ob ein Fondsmanager oder Portfoliomanager über einen bestimmten Zeitraum die Marktrendite überschritten hat. Hat beispielsweise ein Marktindex über einen Zeitraum von fünf Jahren eine Gesamtrendite von 10% erzielt, während ein Fondsmanager im selben Zeitraum nur eine Jahresrendite von 9% erzielte, blieb der Fondsmanager hinter dem Markt zurück.
Der CAGR kann auch verwendet werden, um die erwartete Wachstumsrate von Anlageportfolios über lange Zeiträume zu berechnen, was beispielsweise für die Altersvorsorge nützlich ist. Betrachten Sie die folgenden Beispiele:
Beispiel 1: Eine risikoaverse Anlegerin ist mit einer bescheidenen jährlichen Rendite von 3% für ihr Portfolio zufrieden. Ihr derzeitiges Portfolio von 100.000 USD würde daher nach 20 Jahren auf 180.611 USD anwachsen. Im Gegensatz dazu würde eine risikotolerante Anlegerin, die eine jährliche Rendite von 6% für ihr Portfolio erwartet, nach 20 Jahren ein Wachstum von 100.000 USD auf 320.714 USD verzeichnen.
Beispiel 2: Der CAGR kann verwendet werden, um abzuschätzen, wie viel verstaut werden muss, um für ein bestimmtes Ziel zu sparen. Ein Paar, das über einen Zeitraum von 10 Jahren 50.000 USD für eine Anzahlung auf eine Eigentumswohnung einsparen möchte, müsste 4.165 USD pro Jahr einsparen, wenn es eine jährliche Rendite (CAGR) von 4% für seine Einsparungen annimmt. Wenn sie bereit sind, ein kleines zusätzliches Risiko einzugehen und einen CAGR von 5% zu erwarten, müssten sie jährlich 3.975 USD sparen.
Beispiel 3: Der CAGR kann auch verwendet werden, um die Vorteile einer früheren als einer späteren Investition im Leben zu demonstrieren. Wenn das Ziel darin besteht, bis zum Eintritt in den Ruhestand im Alter von 65 Jahren 1 Million US-Dollar zu sparen, basierend auf einer jährlichen jährlichen jährlichen Rentensenkung von 6%, müsste ein 25-Jähriger 6.462 US-Dollar pro Jahr sparen, um dieses Ziel zu erreichen. Ein 40-Jähriger hingegen müsste 18.227 US-Dollar oder fast das Dreifache dieses Betrags sparen, um dasselbe Ziel zu erreichen.
- CAGRs tauchen auch häufig in Wirtschaftsdaten auf. Hier ein Beispiel: Chinas Pro-Kopf-BIP stieg von 193 USD im Jahr 1980 auf 6.091 USD im Jahr 2012. Wie hoch ist das jährliche Pro-Kopf-BIP-Wachstum in diesem Zeitraum von 32 Jahren? Die Wachstumsrate „i“ beträgt in diesem Fall beachtliche 11, 4%.
Vor- und Nachteile des Compoundierens
Während die Magie des Zinseszinses zu der apokryphen Geschichte von Albert Einstein geführt hat, die ihn als das achte Weltwunder oder die größte Erfindung des Menschen bezeichnet, kann der Zinszins auch gegen Verbraucher wirken, die Kredite mit sehr hohen Zinssätzen haben, wie zum Beispiel Kreditkartenschulden. Ein Kreditkartenguthaben von 20.000 USD bei einem Zinssatz von 20% auf monatliche Basis würde zu einem Gesamtzins von 4.388 USD über ein Jahr oder etwa 365 USD pro Monat führen.
Positiv zu vermerken ist, dass die Magie der Aufzinsung bei Ihren Investitionen zu Ihrem Vorteil wirken und ein wichtiger Faktor bei der Schaffung von Wohlstand sein kann. Das exponentielle Wachstum aufgrund von Zinseszinsen ist auch wichtig, um die den Wohlstand verschlechternden Faktoren wie steigende Lebenshaltungskosten, Inflation und Kaufkraftverringerung zu mindern.
Investmentfonds bieten Anlegern eine der einfachsten Möglichkeiten, die Vorteile von Zinseszinsen zu nutzen. Die Entscheidung, Dividenden aus dem Investmentfonds wieder anzulegen, führt zum Kauf weiterer Fondsanteile. Mit der Zeit häufen sich die Zinseszinsen, und der Zyklus des Kaufs weiterer Anteile wird weiterhin zu einer Wertsteigerung der Anlage in den Fonds führen.
Betrachten Sie eine Anlage in einen Investmentfonds, die mit einem anfänglichen Betrag von 5.000 USD und einem jährlichen Aufstockungsbetrag von 2.400 USD eröffnet wurde. Bei einer durchschnittlichen jährlichen Rendite von 12% von 30 Jahren beträgt der zukünftige Wert des Fonds 798.500 USD. Der Zinseszinssatz ist die Differenz zwischen dem in die Investition eingebrachten Geldbetrag und dem tatsächlichen zukünftigen Wert der Investition. In diesem Fall belaufen sich die Zinseszinsen auf 721.500 USD des künftigen Saldos, wenn 77.000 USD oder ein kumulierter Beitrag von nur 200 USD pro Monat über einen Zeitraum von 30 Jahren geleistet werden. Einkünfte aus Zinseszinsen sind natürlich steuerpflichtig, es sei denn, das Geld befindet sich auf einem steuerlich geschützten Konto. Es wird normalerweise mit dem Normalsatz besteuert, der der Steuerklasse des Steuerpflichtigen entspricht.
Zinseszinsanlagen
Ein Anleger, der sich für einen Reinvestitionsplan innerhalb eines Brokerage-Kontos entscheidet, nutzt im Wesentlichen die Möglichkeit, in das zu investieren, was er investiert. Anleger können mit dem Kauf einer Zero-Coupon-Anleihe auch Zinseszinsen erzielen. Herkömmliche Anleiheemissionen bieten Anlegern regelmäßige Zinszahlungen auf der Grundlage der ursprünglichen Bedingungen der Anleiheemission. Da diese in Form eines Schecks an den Anleger ausgezahlt werden, werden die Zinsen nicht erhöht. Nullkuponanleihen senden keine Zinsschecks an Anleger. Stattdessen wird diese Art von Anleihe mit einem Abschlag auf ihren ursprünglichen Wert gekauft und wächst mit der Zeit. Zero-Coupon-Anleiheemittenten nutzen die Möglichkeit der Aufzinsung, um den Wert der Anleihe so zu steigern, dass sie bei Fälligkeit ihren vollen Kurs erreicht.
Compoundierung kann auch bei der Rückzahlung von Darlehen hilfreich sein. Wenn Sie beispielsweise zweimal im Monat die Hälfte Ihrer Hypothekenzahlung leisten, anstatt einmal im Monat die gesamte Hypothekenzahlung zu leisten, verkürzen Sie die Amortisationszeit und sparen sich erhebliche Zinsen. Apropos Kredite ...
Feststellen, ob Zinsen zusammengerechnet werden
Das Gesetz über die Wahrheit in der Kreditvergabe (TILA) schreibt vor, dass Kreditgeber potenziellen Kreditnehmern die Kreditbedingungen offen legen, einschließlich des gesamten Dollarbetrags der Zinsen, die über die Laufzeit des Kredits zurückzuzahlen sind, und ob Zinsen einfach anfallen oder zusammengesetzt werden.
Eine andere Methode besteht darin, den Zinssatz eines Kredits mit seinem jährlichen Prozentsatz (APR) zu vergleichen, zu dessen Offenlegung die TILA auch die Kreditgeber verpflichtet. Der APR wandelt die Finanzierungskosten Ihres Darlehens, die alle Zinsen und Gebühren enthalten, in einen einfachen Zinssatz um. Ein wesentlicher Unterschied zwischen dem Zinssatz und dem effektiven Jahreszins bedeutet eines oder beide der beiden folgenden Szenarien: Ihr Darlehen verwendet Zinseszinsen oder enthält neben Zinsen auch hohe Darlehensgebühren.