Quartil
Ein Quartil ist ein statistischer Begriff, der eine Unterteilung von Beobachtungen in vier definierte Intervalle beschreibt, basierend auf den Werten der Daten und wie sie mit dem gesamten Satz von Beobachtungen verglichen werden.
Quartile verstehen
Um das Quartil zu verstehen, ist es wichtig, den Median als Maß für die zentrale Tendenz zu verstehen. Der Median in der Statistik ist der Mittelwert einer Reihe von Zahlen. Es ist der Punkt, an dem genau die Hälfte der Daten unter und über dem zentralen Wert liegt.
Bei einem Satz von 13 Zahlen wäre der Median die siebte Zahl. Die sechs Zahlen vor diesem Wert sind die niedrigsten Zahlen in den Daten, und die sechs Zahlen nach dem Median sind die höchsten Zahlen im angegebenen Datensatz. Da der Median nicht von Extremwerten oder Ausreißern in der Verteilung beeinflusst wird, wird er manchmal dem Mittelwert vorgezogen.
Der Median ist ein zuverlässiger Standortschätzer, sagt jedoch nichts darüber aus, wie die Daten auf beiden Seiten des Werts verteilt oder verteilt sind. Hier setzt das Quartil an. Das Quartil misst die Verteilung der Werte über und unter dem Mittelwert, indem es die Verteilung in vier Gruppen unterteilt.
Die zentralen Thesen
- Das Quartil misst die Verteilung der Werte über und unter dem Mittelwert, indem die Verteilung in vier Gruppen unterteilt wird.
- Ein Quartil unterteilt Daten in drei Punkte - ein unteres Quartil, einen Median und ein oberes Quartil -, um vier Gruppen des Datensatzes zu bilden.
- Quartile werden zur Berechnung des Interquartilbereichs verwendet, der ein Maß für die Variabilität um den Median darstellt.
Wie Quartile funktionieren
So wie der Median die Daten halbiert, sodass 50% des Messwerts unter dem Median und 50% darüber liegen, unterteilt das Quartil die Daten in Viertel, sodass 25% des Messwerts kleiner sind als das untere Quartil, 50 % sind kleiner als der Mittelwert und 75% sind kleiner als das obere Quartil.
Ein Quartil unterteilt Daten in drei Punkte - ein unteres Quartil, einen Median und ein oberes Quartil -, um vier Gruppen des Datensatzes zu bilden. Das untere oder erste Quartil wird als Q1 bezeichnet und ist die mittlere Zahl, die zwischen dem kleinsten Wert des Datensatzes und dem Median liegt. Das zweite Quartil, Q2, ist auch der Median. Das obere oder dritte Quartil, als Q3 bezeichnet, ist der zentrale Punkt, der zwischen dem Median und der höchsten Zahl der Verteilung liegt.
Nun können wir die vier aus den Quartilen gebildeten Gruppen kartieren. Die erste Wertegruppe enthält die kleinste Zahl bis Q1; Die zweite Gruppe enthält Q1 bis zum Median. der dritte Satz ist der Median zu Q3; Die vierte Kategorie umfasst Q3 bis zum höchsten Datenpunkt des gesamten Satzes.
Jedes Quartil enthält 25% aller Beobachtungen. Im Allgemeinen sind die Daten vom kleinsten zum größten geordnet:
- Erstes Quartil: die niedrigsten 25% der Zahlen
- Zweites Quartil: zwischen 25, 1% und 50% (bis zum Median)
- Drittes Quartil: 51% bis 75% (über dem Median)
- Viertes Quartil: Die höchsten 25% der Zahlen
Quartil-Beispiel
Lassen Sie uns mit einem Beispiel arbeiten. Angenommen, die Verteilung der Mathematiknoten in einer Klasse von 19 Schülern in aufsteigender Reihenfolge lautet:
59, 60, 65, 65, 68, 69, 70, 72, 75, 75, 76, 77, 81, 82, 84, 87, 90, 95, 98
Markieren Sie zunächst den Median Q2, der in diesem Fall der zehnte Wert ist: 75.
Q1 ist der Mittelpunkt zwischen der kleinsten Punktzahl und dem Median. In diesem Fall liegt Q1 zwischen der ersten und der fünften Bewertung: 68. [Beachten Sie, dass der Median auch bei der Berechnung von Q1 oder Q3 für einen ungeraden Satz von Werten berücksichtigt werden kann. Wenn wir den Median auf beiden Seiten des Mittelpunkts einbeziehen, ist Q1 der Mittelwert zwischen der ersten und zehnten Punktzahl, der der Durchschnitt der fünften und sechsten Punktzahl ist - (fünfte + sechste) / 2 = (68) + 69) / 2 = 68, 5].
Q3 ist der Mittelwert zwischen Q2 und der höchsten Punktzahl: 84. [Wenn Sie den Median mit einbeziehen, ist Q3 = (82 + 84) / 2 = 83].
Nachdem wir nun unsere Quartile haben, interpretieren wir ihre Zahlen. Ein Score von 68 (Q1) repräsentiert das erste Quartil und ist das 25. Perzentil. 68 ist der Median der unteren Hälfte der in den verfügbaren Daten festgelegten Punktzahl, dh der Median der Punktzahlen von 59 bis 75.
Aus Q1 geht hervor, dass 25% der Bewertungen weniger als 68 und 75% der Klassenbewertungen höher sind. Q2 (der Median) ist das 50. Perzentil und zeigt, dass 50% der Punkte weniger als 75 und 50% der Punkte über 75 sind. Schließlich zeigt Q3, das 75. Perzentil, dass 25% der Punkte sind größer und 75% sind kleiner als 84.
Besondere Überlegungen
Wenn der Datenpunkt für Q1 weiter vom Median entfernt ist als Q3 vom Median, können wir sagen, dass es eine größere Streuung zwischen den kleineren Werten des Datensatzes als zwischen den größeren Werten gibt. Die gleiche Logik gilt, wenn Q3 weiter von Q2 entfernt ist als Q1 vom Median.
Wenn es eine gerade Anzahl von Datenpunkten gibt, ist der Median der Durchschnitt der beiden mittleren Zahlen. In unserem obigen Beispiel ist der Median ihrer Punktzahl der arithmetische Durchschnitt der zehnten und elften Zahl, wenn wir 20 statt 19 Schüler hatten.
Quartile werden zur Berechnung des Interquartilbereichs verwendet, der ein Maß für die Variabilität um den Median darstellt. Der Interquartilbereich wird einfach als Differenz zwischen dem ersten und dritten Quartil berechnet: Q3 - Q1. Tatsächlich ist es der Bereich der mittleren Hälfte der Daten, der die Streuung der Daten anzeigt.
Für große Datenmengen verfügt Microsoft Excel über eine QUARTILE-Funktion zur Berechnung von Quartilen.
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