Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist definiert als die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses oder Ergebnisses auf der Grundlage des Auftretens eines vorherigen Ereignisses oder Ergebnisses. Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeit des vorhergehenden Ereignisses mit der aktualisierten Wahrscheinlichkeit des nachfolgenden oder bedingten Ereignisses multipliziert wird.
Zum Beispiel:
- Ereignis A ist, dass es draußen regnet und es heute eine 0, 3 (30%) Chance gibt zu regnen.
- Ereignis B ist, dass Sie nach draußen gehen müssen, und das hat eine Wahrscheinlichkeit von 0, 5 (50%).
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit würde diese beiden Ereignisse miteinander in Beziehung setzen, z. B. die Wahrscheinlichkeit, dass es regnet und Sie nach draußen müssen.
Wie bedingte Wahrscheinlichkeit funktioniert
Wie bereits erwähnt, hängen bedingte Wahrscheinlichkeiten von einem früheren Ergebnis ab. Es gibt auch eine Reihe von Annahmen. Angenommen, Sie malen drei Murmeln (rot, blau und grün) aus einer Tüte. Jeder Marmor hat die gleiche Chance, gezogen zu werden. Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, den roten Marmor zu zeichnen, nachdem der blaue bereits gezeichnet wurde? Erstens liegt die Wahrscheinlichkeit, einen blauen Marmor zu zeichnen, bei 33%, da dies eines von drei möglichen Ergebnissen ist. Unter der Annahme, dass dieses erste Ereignis eintritt, verbleiben zwei Murmeln, von denen jede zu 50% gezogen wird. Die Chance, einen blauen Marmor zu zeichnen, nachdem bereits ein roter Marmor gezeichnet wurde, liegt also bei 16, 5% (33% x 50%).
Als weiteres Beispiel für weitere Einsichten in dieses Konzept nehmen wir an, dass ein fairer Würfel gewürfelt wurde und Sie aufgefordert werden, die Wahrscheinlichkeit anzugeben, dass es sich um eine Fünf handelte. Es gibt sechs gleich wahrscheinliche Ergebnisse, daher lautet Ihre Antwort 1/6. Stellen Sie sich jedoch vor, Sie erhalten vor der Beantwortung zusätzliche Informationen darüber, dass die gewürfelte Zahl ungerade war. Da nur drei ungerade Zahlen möglich sind, von denen eine fünf ist, würden Sie Ihre Schätzung mit Sicherheit dahingehend überarbeiten, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Fünf gewürfelt wird, von 1/6 auf 1/3 steigt. Diese überarbeitete Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eingetreten ist, wird unter Berücksichtigung der zusätzlichen Information, dass ein anderes Ereignis B bei diesem Versuch des Experiments definitiv aufgetreten ist, als bedingte Wahrscheinlichkeit von A bei gegebenem B bezeichnet und mit P (A | B) bezeichnet.
Bedingte Wahrscheinlichkeitsformel
P (B | A) = P (A und B) / P (A), das Sie auch umschreiben können als: P (B | A) = P (A∩B) / P (A)
Ein weiteres Beispiel für bedingte Wahrscheinlichkeit
Angenommen, ein Student beantragt die Zulassung an einer Universität und hofft auf ein akademisches Stipendium. Die Schule, an der sie sich bewerben, akzeptiert 100 von 1.000 Bewerbern (10%) und vergibt akademische Stipendien an 10 von 500 Studenten, die angenommen werden (2%). Von den Stipendiaten erhalten 50% Universitätsstipendien für Bücher, Essen & Wohnen. Für unseren ambitionierten Studenten beträgt die Änderung, dass er als Stipendiat akzeptiert wird, 0, 2% (0, 1 x 0, 02). Die Wahrscheinlichkeit, dass sie angenommen werden, das Stipendium erhalten und dann auch ein Stipendium für Bücher usw. erhalten, beträgt 0, 1% (0, 1 x 0, 02 x 0, 5). Siehe auch Bayes 'Theorem.
Bedingte Wahrscheinlichkeit vs. gemeinsame Wahrscheinlichkeit und marginale Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit : p (A | B) ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis A, vorausgesetzt, dass Ereignis B eintritt. Beispiel: Wenn Sie eine rote Karte gezogen haben, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Vier handelt (p (vier | rot)) = 2/26 = 1/13. Von den 26 roten Karten (mit einer roten Karte) gibt es also zwei Vierer, also 2/26 = 1/13.
Grenzwahrscheinlichkeit : Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses (p (A)) kann als unbedingte Wahrscheinlichkeit betrachtet werden. Es ist nicht an ein anderes Ereignis gebunden. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Karte gezogen wird, ist rot (p (rot) = 0, 5). Ein weiteres Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Karte gezogen wird, ist 4 (p (vier) = 1/13).
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit : p (A und B). Die Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis A und Ereignis B. Es ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich zwei oder mehr Ereignisse überschneiden. Die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunktes von A und B kann mit p (A ∩ B) angegeben werden. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Karte eine Vier ist und rot = p (vier und rot) = 2/52 = 1/26. (Es gibt zwei rote Viere in einem 52er-Deck, die Vier der Herzen und die Vier der Diamanten.)
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