Verwenden von Common Stock Probability Distribution-Methoden

Fast unabhängig von Ihrer Einschätzung der Vorhersehbarkeit oder Effizienz der Märkte werden Sie wahrscheinlich zustimmen, dass die garantierten Renditen für die meisten Vermögenswerte ungewiss oder riskant sind. Wenn wir die Mathematik, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen zugrunde liegt, ignorieren, können wir sehen, dass es sich um Bilder handelt, die eine bestimmte Sichtweise der Unsicherheit beschreiben. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine statistische Berechnung, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass eine bestimmte Variable in einem Diagramm zwischen oder innerhalb eines bestimmten Bereichs liegt.

Unsicherheit bezieht sich auf Zufälligkeit. Es unterscheidet sich von einem Mangel an Vorhersehbarkeit oder Marktineffizienz. Eine aufstrebende Research-Ansicht ist der Ansicht, dass die Finanzmärkte sowohl unsicher als auch vorhersehbar sind. Auch Märkte können effizient, aber auch unsicher sein.

In der Finanzbranche verwenden wir Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um Bilder zu zeichnen, die unsere Ansicht über die Sensitivität einer Vermögensrendite veranschaulichen, wenn wir der Meinung sind, dass die Vermögensrendite als Zufallsvariable betrachtet werden kann. In diesem Artikel gehen wir auf einige der beliebtesten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ein und zeigen Ihnen, wie Sie sie berechnen.

Verteilungen können entweder als diskret oder kontinuierlich kategorisiert werden und danach, ob es sich um eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) oder um eine kumulative Verteilung handelt.

Diskrete vs. kontinuierliche Verteilungen

Diskret bezieht sich auf eine Zufallsvariable, die aus einem endlichen Satz möglicher Ergebnisse gezogen wird. Ein sechsseitiger Würfel hat beispielsweise sechs diskrete Ergebnisse. Eine stetige Verteilung bezieht sich auf eine Zufallsvariable aus einer unendlichen Menge. Beispiele für kontinuierliche Zufallsvariablen sind Geschwindigkeit, Entfernung und einige Anlagenrenditen. Eine diskrete Zufallsvariable wird typischerweise mit Punkten oder Strichen dargestellt, während eine kontinuierliche Variable mit einer durchgezogenen Linie dargestellt wird. Abbildung 1 zeigt diskrete und kontinuierliche Verteilungen für eine Normalverteilung mit einem Mittelwert (Erwartungswert) von 50 und einer Standardabweichung von 10:

Abbildung 1

Die Verteilung ist ein Versuch, die Unsicherheit aufzuzeichnen. In diesem Fall ist ein Ergebnis von 50 am wahrscheinlichsten, wird jedoch in etwa 4% der Fälle eintreten. Ein Ergebnis von 40 ist eine Standardabweichung unter dem Mittelwert und tritt in knapp 2, 5% der Fälle auf.

Wahrscheinlichkeitsdichte vs. kumulative Verteilung

Der andere Unterschied besteht in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) und der kumulativen Verteilungsfunktion. Das PDF ist die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Zufallsvariable einen bestimmten Wert erreicht (oder bei einer kontinuierlichen Variablen zwischen einem Intervall liegt). Wir zeigen dies durch Angabe der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X einem tatsächlichen Wert x entspricht:

P [x = X] \ beginne {ausgerichtet} & P [x = X] \\ \ end {ausgerichtet} P [x = X]

Die kumulative Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X kleiner oder gleich dem tatsächlichen Wert x ist:

P [x <= X] \ beginne {ausgerichtet} & P [x <= X] \\ \ end {ausgerichtet} P [x <= X]

Wenn Ihre Größe beispielsweise eine Zufallsvariable mit einem erwarteten Wert von 5'10 "Zoll (durchschnittliche Größe Ihrer Eltern) ist, lautet die PDF-Frage:" Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine Größe von 5'4 "erreichen?" >

Abbildung 1 zeigt zwei Normalverteilungen. Sie können jetzt sehen, dass es sich um PDF-Diagramme handelt. Wenn wir dieselbe Verteilung wie eine kumulative Verteilung neu zeichnen, erhalten wir Folgendes:

Figur 2

Die kumulative Verteilung muss schließlich 1, 0 oder 100% auf der y-Achse erreichen. Wenn wir die Messlatte hoch genug legen, fallen irgendwann praktisch alle Ergebnisse unter diese Messlatte (wir könnten sagen, die Verteilung ist in der Regel asymptotisch bis 1, 0).

Die Finanzwissenschaft, eine Sozialwissenschaft, ist nicht so sauber wie die Naturwissenschaften. Die Schwerkraft zum Beispiel hat eine elegante Formel, auf die wir uns immer wieder verlassen können. Renditen von Finanzanlagen können hingegen nicht so konsistent repliziert werden. Eine erstaunliche Menge Geld ist im Laufe der Jahre von klugen Leuten verloren worden, die die genauen Verteilungen (dh als ob sie aus den physikalischen Wissenschaften abgeleitet wären) mit den chaotischen, unzuverlässigen Annäherungen verwechselten, die versuchen, finanzielle Renditen abzubilden. In der Finanzwelt sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen kaum mehr als grobe Bilddarstellungen.

Gleichmäßige Verteilung

Die einfachste und beliebteste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der alle Ergebnisse die gleiche Chance haben, aufzutreten. Ein sechsseitiger Würfel hat eine gleichmäßige Verteilung. Jedes Ergebnis hat eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr 16, 67% (1/6). Unser Diagramm unten zeigt die durchgezogene Linie (damit Sie sie besser sehen können), aber denken Sie daran, dass dies eine diskrete Verteilung ist - Sie können weder 2.5 noch 2.11 würfeln:

Figur 3

Würfeln Sie nun zwei Würfel zusammen, wie in Abbildung 4 gezeigt, und die Verteilung ist nicht mehr einheitlich. Der Höchststand liegt bei sieben, was einer Wahrscheinlichkeit von 16, 67% entspricht. In diesem Fall sind alle anderen Ergebnisse weniger wahrscheinlich:

Figur 4

Wirf nun drei Würfel zusammen, wie in Abbildung 5 gezeigt. Wir beginnen, die Auswirkungen eines erstaunlichen Satzes zu sehen: des zentralen Grenzwertsatzes. Der zentrale Grenzwertsatz verspricht mutig, dass die Summe oder der Durchschnitt einer Reihe unabhängiger Variablen unabhängig von ihrer eigenen Verteilung zur Normalverteilung neigt. Unsere Würfel sind individuell einheitlich, aber kombinieren sie und - wenn wir mehr Würfel hinzufügen - tendieren sie fast magisch zur bekannten Normalverteilung.

Abbildung 5

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung spiegelt eine Reihe von "entweder / oder" -Versuchen wider, beispielsweise eine Reihe von Münzwürfen. Hierbei handelt es sich um Bernoulli-Versuche, die sich auf Ereignisse mit nur zwei Ergebnissen beziehen. Sie benötigen jedoch keine geraden Quoten (50/50). Die Binomialverteilung unten zeigt eine Reihe von 10 Münzwürfen, wobei die Wahrscheinlichkeit von Köpfen 50% (p-0, 5) beträgt. Sie können in Abbildung 6 sehen, dass die Chance, genau fünf Köpfe und fünf Schwänze zu spiegeln (Reihenfolge spielt keine Rolle), nur knapp 25% beträgt:

Abbildung 6

Wenn die Binomialverteilung für Sie normal aussieht, haben Sie recht. Wenn die Anzahl der Versuche zunimmt, tendiert das Binomial zur Normalverteilung.

Lognormalverteilung

Die logarithmische Verteilung ist im Finanzbereich sehr wichtig, da viele der beliebtesten Modelle davon ausgehen, dass die Aktienkurse logarithmisch verteilt sind. Es ist leicht, Anlagenrenditen mit Preisniveaus zu verwechseln.

Anlagenrenditen werden oft als normal behandelt - eine Aktie kann um 10% steigen oder um 10% fallen. Preisniveaus werden oft als logarithmisch behandelt - eine 10-Dollar-Aktie kann bis zu 30 US-Dollar steigen, aber nicht bis zu -10 US-Dollar. Die logarithmische Normalverteilung ist ungleich Null und nach rechts geneigt (wieder kann eine Aktie nicht unter Null fallen, aber es gibt kein theoretisches Aufwärtslimit):

Abbildung 7

Poisson

Die Poisson-Verteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses (z. B. eines täglichen Portfolioverlusts unter 5%) zu beschreiben, das über ein Zeitintervall auftritt. Im folgenden Beispiel wird daher davon ausgegangen, dass ein Betriebsprozess eine Fehlerrate von 3% aufweist. Wir gehen weiterhin von 100 Zufallsversuchen aus; Die Poisson-Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, über einen bestimmten Zeitraum eine bestimmte Anzahl von Fehlern zu erhalten, z. B. einen einzelnen Tag.

Abbildung 8

Student's T

Die T-Verteilung des Schülers ist ebenfalls sehr beliebt, da sie einen etwas "dickeren Schwanz" als die Normalverteilung hat. Das T des Schülers wird normalerweise verwendet, wenn unsere Stichprobe klein ist (dh weniger als 30). Im Finanzbereich repräsentiert der linke Schwanz die Verluste. Daher wagen wir, wenn die Stichprobengröße klein ist, die Wahrscheinlichkeit eines großen Verlusts zu unterschätzen. Der dickere Schwanz am T des Schülers wird uns hier raushelfen. Trotzdem kommt es vor, dass der fette Schwanz dieser Verteilung oft nicht fett genug ist. Finanzielle Renditen weisen in seltenen Fällen katastrophale Verluste auf (dicker als von den Ausschüttungen prognostiziert). In diesem Sinne sind große Geldsummen verloren gegangen.

Abbildung 9

Beta-Distribution

Schließlich ist die Betaverteilung (nicht zu verwechseln mit dem Betaparameter im Preismodell für Kapitalanlagen) bei Modellen beliebt, die die Erholungsraten für Anleihenportfolios schätzen. Die Beta-Distribution ist der Utility-Player von Distributionen. Wie im Normalfall werden nur zwei Parameter benötigt (Alpha und Beta), die jedoch für eine bemerkenswerte Flexibilität kombiniert werden können. In Abbildung 10 sind vier mögliche Betaverteilungen dargestellt:

Abbildung 10

Die Quintessenz

Wie so viele Schuhe in unserem statistischen Schuhschrank versuchen wir, die beste Passform für den Anlass zu finden, aber wir wissen nicht genau, was das Wetter für uns bedeutet. Wir können eine Normalverteilung wählen und dann herausfinden, dass sie die Verluste am linken Ende unterschätzt. Daher wechseln wir zu einer verzerrten Verteilung, nur um festzustellen, dass die Daten in der nächsten Zeit "normaler" aussehen. Die elegante Mathematik könnte Sie dazu verführen, zu glauben, dass diese Verteilungen eine tiefere Wahrheit enthüllen, aber es ist wahrscheinlicher, dass es sich nur um menschliche Artefakte handelt. Zum Beispiel sind alle von uns überprüften Ausschüttungen recht reibungslos, aber einige Anlagerenditen springen ununterbrochen.

Die Normalverteilung ist allgegenwärtig und elegant und erfordert nur zwei Parameter (Mittelwert und Verteilung). Viele andere Verteilungen konvergieren gegen das Normale (z. B. Binomial und Poisson). Viele Situationen, wie beispielsweise die Rendite von Hedgefonds, Kreditportfolios und schwerwiegende Verluste, verdienen jedoch nicht die normale Ausschüttung.