Verwendung der Monte-Carlo-Simulation mit GBM

Eine der häufigsten Methoden zur Risikoabschätzung ist die Verwendung einer Monte-Carlo-Simulation (MCS). Um beispielsweise den Value-at-Risk (VaR) eines Portfolios zu berechnen, können wir eine Monte-Carlo-Simulation durchführen, mit der versucht wird, den wahrscheinlichsten Verlust für ein Portfolio anhand eines Konfidenzintervalls über einen bestimmten Zeithorizont vorherzusagen (es müssen immer zwei angegeben werden VaR-Bedingungen: Vertrauen und Horizont).

In diesem Artikel wird ein grundlegendes MCS, das auf einen Aktienkurs angewendet wird, anhand eines der gängigsten Modelle in der Finanzbranche überprüft: Geometrische Brownsche Bewegung (GBM). Während sich die Monte-Carlo-Simulation auf ein Universum verschiedener Simulationsansätze beziehen kann, werden wir hier mit den grundlegendsten beginnen.

Wo soll man anfangen

Eine Monte-Carlo-Simulation ist ein Versuch, die Zukunft um ein Vielfaches vorherzusagen. Am Ende der Simulation erzeugen Tausende oder Millionen von "Zufallsversuchen" eine Verteilung von Ergebnissen, die analysiert werden können. Die grundlegenden Schritte sind wie folgt:

1. Geben Sie ein Modell an (zB GBM)

Für diesen Artikel verwenden wir die geometrische Brownsche Bewegung (GBM), die technisch gesehen ein Markov-Prozess ist. Dies bedeutet, dass der Aktienkurs einem zufälligen Verlauf folgt und (zumindest) der schwachen Form der effizienten Markthypothese (EMH) entspricht - vergangene Kursinformationen sind bereits enthalten, und die nächste Kursbewegung ist "bedingt unabhängig" von vergangene Kursbewegungen.

Die Formel für GBM lautet wie folgt:

Wo:

• S = Der Aktienkurs
• Δ S = Die Änderung des Aktienkurses
• μ = Die erwartete Rendite
• σ = Die Standardabweichung der Renditen
• ϵ = Die Zufallsvariable
• Δ t = Die abgelaufene Zeitspanne

Wenn wir die Formel neu anordnen, um sie nur für die Änderung des Aktienkurses zu lösen, sehen wir, dass GBM sagt, dass die Änderung des Aktienkurses der Aktienkurs "S" multipliziert mit den zwei Begriffen in der Klammer unten ist:

Der erste Term ist ein "Drift" und der zweite Term ist ein "Schock". Für jeden Zeitraum geht unser Modell davon aus, dass der Preis um die erwartete Rendite "driftet". Die Drift wird jedoch durch einen zufälligen Schock erschüttert (addiert oder subtrahiert). Der Zufallsschock ist die Standardabweichung "s" multipliziert mit einer Zufallszahl "e". Dies ist einfach eine Möglichkeit, die Standardabweichung zu skalieren.

Dies ist die Essenz von GBM, wie in Abbildung 1 dargestellt. Der Aktienkurs folgt einer Reihe von Schritten, wobei jeder Schritt eine Drift plus oder minus eines zufälligen Schocks ist (selbst eine Funktion der Standardabweichung der Aktie):

Abbildung 1

2. Generieren Sie zufällige Versuche

Ausgerüstet mit einer Modellspezifikation führen wir dann Zufallsversuche durch. Zur Veranschaulichung haben wir Microsoft Excel verwendet, um 40 Versuche durchzuführen. Denken Sie daran, dass dies eine unrealistisch kleine Stichprobe ist. Die meisten Simulationen oder "Sims" führen mindestens mehrere tausend Versuche durch.

In diesem Fall nehmen wir an, dass die Aktie am Tag Null mit einem Kurs von 10 USD beginnt. Hier ist ein Diagramm des Ergebnisses, bei dem jeder Zeitschritt (oder Intervall) einen Tag beträgt und die Serie zehn Tage lang läuft (zusammenfassend: vierzig Versuche mit täglichen Schritten über zehn Tage):

Abbildung 2: Geometrische Brownsche Bewegung

Das Ergebnis sind 40 simulierte Aktienkurse am Ende von 10 Tagen. Keiner ist unter 9 USD gefallen und einer über 11 USD.

3. Verarbeiten Sie die Ausgabe

Die Simulation ergab eine Verteilung der hypothetischen zukünftigen Ergebnisse. Wir könnten verschiedene Dinge mit der Ausgabe machen.

Wenn wir zum Beispiel den VaR mit einer Sicherheit von 95% schätzen wollen, müssen wir nur das Ergebnis mit dem achtunddreißigsten Rang ermitteln (das drittschlechteste Ergebnis). Das liegt daran, dass 2/40 gleich 5% ist. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also die niedrigsten 5%.

Wenn wir die dargestellten Ergebnisse in Bins stapeln (jeder Bin ist ein Drittel von 1 USD, sodass drei Bins das Intervall von 9 USD bis 10 USD abdecken), erhalten wir das folgende Histogramm:

Figur 3

Denken Sie daran, dass unser GBM-Modell von Normalität ausgeht. Preisrenditen werden normalerweise mit der erwarteten Rendite (Mittelwert) "m" und der Standardabweichung "s" verteilt. Interessanterweise sieht unser Histogramm nicht normal aus. Tatsächlich tendiert es mit mehr Versuchen nicht zur Normalität. Stattdessen tendiert es zu einer logarithmischen Normalverteilung: ein starker Abfall links vom Mittelwert und ein stark verzerrter "langer Schwanz" rechts vom Mittelwert.

Dies führt häufig zu einer möglicherweise verwirrenden Dynamik für Studienanfänger:

• Preisrenditen werden normalerweise verteilt.
• Preisniveaus sind lognormal verteilt.

Stellen Sie sich das so vor: Eine Aktie kann um 5% oder 10% steigen oder fallen, aber nach einer bestimmten Zeit kann der Aktienkurs nicht negativ sein. Preiserhöhungen auf der Oberseite wirken sich zusätzlich aus, während Preissenkungen auf der Unterseite die Basis verringern: 10% verlieren und Sie haben weniger Zeit, um das nächste Mal zu verlieren.

Hier ist ein Diagramm der logarithmischen Verteilung, das unseren veranschaulichten Annahmen überlagert ist (z. B. Startpreis von 10 USD):

Figur 4

Die Quintessenz

Eine Monte-Carlo-Simulation wendet ein ausgewähltes Modell (das das Verhalten eines Instruments angibt) auf eine große Anzahl von Zufallsversuchen an, um eine plausible Menge möglicher zukünftiger Ergebnisse zu erhalten. In Bezug auf die Simulation von Aktienkursen ist das gängigste Modell die geometrische Brownsche Bewegung (GBM). GBM geht davon aus, dass eine konstante Drift von zufälligen Erschütterungen begleitet wird. Während die Periodenrenditen unter GBM normal verteilt sind, werden die sich daraus ergebenden Preisniveaus für mehrere Perioden (z. B. zehn Tage) normal verteilt.