Wie wird implizite Volatilität in der Black-Scholes-Formel verwendet?

Die implizite Volatilität leitet sich aus der Black-Scholes-Formel ab und ist ein wichtiges Element für die Bestimmung des Optionswerts. Die implizite Volatilität ist ein Maß für die Schätzung der zukünftigen Variabilität des dem Optionskontrakt zugrunde liegenden Vermögenswerts. Das Black-Scholes-Modell wird verwendet, um Optionen zu preisen. Das Modell geht davon aus, dass der Preis der zugrunde liegenden Vermögenswerte einer geometrischen Brownschen Bewegung mit konstanter Drift und Volatilität folgt. Implizite Volatilität ist der einzige Input des Modells, der nicht direkt beobachtbar ist. Die Black-Scholes-Gleichung muss gelöst werden, um die implizite Volatilität zu bestimmen. Die anderen Parameter für die Black-Scholes-Gleichung sind der Preis des Basiswerts, der Ausübungspreis der Option, die Zeit bis zum Verfall der Option und der risikofreie Zinssatz.

Das Black-Scholes-Modell geht von einer Reihe von Annahmen aus, die möglicherweise nicht immer korrekt sind. Das Modell geht davon aus, dass die Volatilität konstant ist, obwohl sie sich in Wirklichkeit häufig bewegt. Das Modell geht ferner davon aus, dass effiziente Märkte auf einem zufälligen Wechsel der Vermögenspreise beruhen. Das Black-Scholes-Modell ist auf europäische Optionen beschränkt, die nur am letzten Tag ausgeübt werden können, im Gegensatz zu amerikanischen Optionen, die jederzeit vor Ablauf ausgeübt werden können.

Black-Scholes und der Volatility Skew

Die Black-Scholes-Gleichung geht von einer logarithmischen Verteilung der Preisänderungen für den Basiswert aus. Dies wird auch als Gaußsche Verteilung bezeichnet. Häufig weisen die Vermögenspreise eine erhebliche Schiefe und Kurtosis auf. Dies bedeutet, dass Abwärtsbewegungen mit hohem Risiko auf dem Markt häufig häufiger vorkommen, als eine Gaußsche Verteilung vorhersagt.

Die Annahme lognormaler zugrunde liegender Vermögenspreise sollte daher zeigen, dass die impliziten Volatilitäten für jeden Ausübungspreis nach dem Black-Scholes-Modell ähnlich sind. Seit dem Marktcrash von 1987 waren die impliziten Volatilitäten für die Geldoptionen jedoch niedriger als diejenigen, die weiter außerhalb des Geldes oder weit außerhalb des Geldes liegen. Der Grund für dieses Phänomen ist, dass der Markt mit größerer Wahrscheinlichkeit eine hohe Volatilität einpreist, die auf den Märkten nach unten geht.

Dies hat zu einer Volatilitätsverschiebung geführt. Wenn die impliziten Volatilitäten für Optionen mit demselben Verfallsdatum in einem Diagramm dargestellt werden, ist ein Lächeln oder eine Schrägstellung zu erkennen. Das Black-Scholes-Modell ist daher für die Berechnung der impliziten Volatilität nicht effizient.

Historische Vs. Implizite Volatilität

Die Mängel der Black-Scholes-Methode haben dazu geführt, dass der historischen Volatilität eine größere Bedeutung beigemessen wurde als der impliziten. Historische Volatilität ist die realisierte Volatilität des Basiswerts über einen früheren Zeitraum. Sie wird durch Messung der Standardabweichung des zugrunde liegenden Vermögenswerts vom Mittelwert während dieses Zeitraums bestimmt. Die Standardabweichung ist ein statistisches Maß für die Variabilität von Preisänderungen gegenüber der mittleren Preisänderung. Dies unterscheidet sich von der impliziten Volatilität nach der Black-Scholes-Methode, da sie auf der tatsächlichen Volatilität des Basiswerts basiert. Die Verwendung der historischen Volatilität hat jedoch auch einige Nachteile. Die Volatilität verschiebt sich, wenn die Märkte unterschiedliche Regime durchlaufen. Daher ist die historische Volatilität möglicherweise kein genaues Maß für die zukünftige Volatilität.