Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine statistische Funktion, die alle möglichen Werte und Wahrscheinlichkeiten beschreibt, die eine Zufallsvariable innerhalb eines bestimmten Bereichs annehmen kann. Dieser Bereich wird zwischen den minimal und maximal möglichen Werten begrenzt, aber genau, wo der mögliche Wert wahrscheinlich auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung aufgetragen wird, hängt von einer Reihe von Faktoren ab. Diese Faktoren umfassen den Mittelwert (Durchschnitt) der Verteilung, die Standardabweichung, die Schiefe und die Kurtosis.
Wie Wahrscheinlichkeitsverteilungen funktionieren
Die wahrscheinlich häufigste Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Normalverteilung oder "Glockenkurve", obwohl es mehrere Verteilungen gibt, die üblicherweise verwendet werden. Typischerweise bestimmt der Datenerzeugungsprozess eines Phänomens seine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dieser Vorgang wird als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bezeichnet.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen können auch verwendet werden, um kumulative Verteilungsfunktionen (Cumulative Distribution Functions, CDFs) zu erstellen. Diese addieren die Eintrittswahrscheinlichkeit und beginnen immer bei Null und enden bei 100%.
Akademiker, Finanzanalysten und Fondsmanager können die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer bestimmten Aktie bestimmen, um die möglichen erwarteten Renditen zu bewerten, die die Aktie in Zukunft erzielen kann. Die Historie der Aktienrenditen, die in jedem Zeitintervall gemessen werden kann, setzt sich wahrscheinlich nur aus einem Bruchteil der Aktienrenditen zusammen, wodurch die Analyse Stichprobenfehlern unterliegt. Durch Erhöhen der Stichprobengröße kann dieser Fehler drastisch reduziert werden.
Die zentralen Thesen
- Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt die erwarteten Ergebnisse möglicher Werte für einen bestimmten Datenerzeugungsprozess.
- Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt es in vielen Formen mit unterschiedlichen Merkmalen, wie sie durch den Mittelwert, die Standardabweichung, die Schiefe und die Kurtosis definiert sind.
- Anleger verwenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um die Rendite von Vermögenswerten wie Aktien im Zeitverlauf zu antizipieren und ihr Risiko abzusichern.
Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Es gibt viele verschiedene Klassifikationen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Einige von ihnen umfassen die Normalverteilung, Chi-Quadrat-Verteilung, Binomialverteilung und Poisson-Verteilung. Die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen dienen unterschiedlichen Zwecken und repräsentieren unterschiedliche Datenerzeugungsprozesse. Die Binomialverteilung bewertet beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis über eine bestimmte Anzahl von Versuchen mehrmals auftritt, und die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in jedem Versuch. und kann erzeugt werden, indem verfolgt wird, wie viele Freiwürfe ein Basketballspieler in einem Spiel macht, wobei 1 = ein Korb und 0 = ein Fehlschuss. Ein weiteres typisches Beispiel wäre die Verwendung einer fairen Münze und die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit, dass diese Münze in 10 geraden Flips auftaucht. Eine Binomialverteilung ist diskret und nicht kontinuierlich, da nur 1 oder 0 eine gültige Antwort ist.
Die am häufigsten verwendete Verteilung ist die Normalverteilung, die häufig in den Bereichen Finanzen, Investitionen, Wissenschaft und Ingenieurwesen verwendet wird. Die Normalverteilung ist vollständig durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung charakterisiert, was bedeutet, dass die Verteilung nicht verzerrt ist und eine Kurtosis aufweist. Dies macht die Verteilung symmetrisch und wird beim Auftragen als glockenförmige Kurve dargestellt. Eine Normalverteilung wird durch einen Mittelwert (Durchschnitt) von Null und eine Standardabweichung von 1, 0 mit einem Versatz von Null und einer Kurtosis von 3 definiert. Bei einer Normalverteilung liegen ungefähr 68% der gesammelten Daten innerhalb von +/- einem Standard Abweichung vom Mittelwert; ca. 95% innerhalb von +/- zwei Standardabweichungen; und 99, 7% innerhalb von drei Standardabweichungen. Im Gegensatz zur Binomialverteilung ist die Normalverteilung stetig, was bedeutet, dass alle möglichen Werte dargestellt werden (im Gegensatz zu nur 0 und 1 mit nichts dazwischen).
Wahrscheinlichkeitsverteilungen beim Investieren
Aktienrenditen werden häufig als normalverteilt angenommen, in Wirklichkeit weisen sie jedoch eine Kurtosis auf, wobei große negative und positive Renditen häufiger zu verzeichnen scheinen, als dies bei einer Normalverteilung der Fall wäre. In der Tat wurde die Verteilung der Aktienrenditen als logarithmisch normal beschrieben, da die Aktienkurse an Null gebunden sind, aber ein unbegrenztes Aufwärtspotenzial bieten. Dies zeigt sich in einem Diagramm von Aktienrenditen, wobei die Schwänze der Verteilung eine größere Dicke aufweisen.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden häufig auch im Risikomanagement verwendet, um die Wahrscheinlichkeit und die Höhe der Verluste zu bewerten, die einem Anlageportfolio aufgrund einer Verteilung der historischen Renditen entstehen würden. Eine beliebte Risikomanagementkennzahl für Anlagen ist der Value-at-Risk (VaR). Der VaR gibt den minimalen Verlust an, der bei einer bestimmten Wahrscheinlichkeit und einem bestimmten Zeitrahmen für ein Portfolio auftreten kann. Alternativ kann ein Anleger mithilfe des VaR eine Verlustwahrscheinlichkeit für eine bestimmte Verlusthöhe und einen bestimmten Zeitrahmen erhalten. Missbrauch und übermäßiges Vertrauen in den VaR wurden als eine der Hauptursachen für die Finanzkrise von 2008 angesehen.
Beispiel einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
Betrachten wir als einfaches Beispiel für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung die Zahl, die beim Würfeln von zwei sechsseitigen Standardwürfeln beobachtet wird. Jeder Würfel hat eine 1/6 Wahrscheinlichkeit, eine einzelne Zahl zu würfeln, eine bis sechs, aber die Summe von zwei Würfeln ergibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Abbildung unten dargestellt ist. Sieben ist das häufigste Ergebnis (1 + 6, 6 + 1, 5 + 2, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3). Zwei und zwölf sind dagegen weitaus unwahrscheinlicher (1 + 1 und 6 + 6).