Berechnung des gegenwärtigen und zukünftigen Wertes von Annuitäten

Zu einem bestimmten Zeitpunkt in Ihrem Leben mussten Sie möglicherweise über einen bestimmten Zeitraum hinweg eine Reihe von festen Zahlungen leisten, z. B. Zahlungen für Miete oder Auto, oder Sie haben über einen bestimmten Zeitraum hinweg eine Reihe von Zahlungen erhalten, z. B. Zinsen aus Anleihen oder CDs. Diese werden als Annuitäten bezeichnet (eine allgemeinere Verwendung des Wortes - nicht zu verwechseln mit dem spezifischen Finanzprodukt, das als Annuität bezeichnet wird, obwohl beide verwandt sind). Wenn Sie den Zeitwert des Geldes verstehen, sind Sie bereit, sich über Renten und die Berechnung ihrer gegenwärtigen und zukünftigen Werte zu informieren.

Was sind Annuitäten?

Annuitäten sind im Wesentlichen eine Reihe von festen Zahlungen, die von Ihnen innerhalb eines festgelegten Zeitraums mit einer festgelegten Häufigkeit verlangt oder an Sie gezahlt werden. Die Zahlungshäufigkeiten können jährlich, halbjährlich (zweimal jährlich), vierteljährlich und monatlich sein. Es gibt zwei Grundtypen von Renten: gewöhnliche Renten und fällige Renten.

• Ordentliche Rente: Zahlungen sind am Ende jeder Periode erforderlich. Beispielsweise leisten gerade Anleihen in der Regel alle sechs Monate bis zum Fälligkeitsdatum der Anleihe Kuponzahlungen.
• Annuität fällig: Zahlungen sind zu Beginn jeder Periode erforderlich. Die Miete ist ein Beispiel für eine fällige Rente. In der Regel müssen Sie die Miete bei Ihrem ersten Einzug zu Monatsbeginn und danach jeweils am Ersten eines Monats bezahlen.

Da die Berechnungen des Barwerts und des zukünftigen Werts für normale und fällige Renten geringfügig voneinander abweichen, werden wir sie separat behandeln.

Ordentliche Renten

Berechnung des zukünftigen Wertes

Wenn Sie wissen, wie viel Sie pro Periode für einen bestimmten Zeitraum investieren können, ist der zukünftige Wert (Future Value, FV) einer gewöhnlichen Rentenformel hilfreich, um herauszufinden, wie viel Sie in Zukunft haben würden. Wenn Sie Zahlungen für ein Darlehen leisten, ist der zukünftige Wert hilfreich, um die Gesamtkosten des Darlehens zu bestimmen. Wenn Sie wissen, wie viel Sie pro Jahr investieren möchten und wie hoch die Rendite Ihrer Annuitätsgarantien ist - oder bei Darlehen die Höhe Ihrer Zahlungen und der angegebene Zinssatz -, können Sie den Wert Ihres Kontos jederzeit leicht bestimmen die Zukunft.

Lassen Sie uns nun Beispiel 1 durchgehen. Betrachten Sie das folgende Annuitäten-Cashflow-Schema:

Um den zukünftigen Wert der Annuität zu berechnen, müssen wir den zukünftigen Wert jedes Cashflows berechnen. Nehmen wir an, Sie erhalten in den nächsten fünf Jahren jedes Jahr 1.000 US-Dollar und investieren jede Zahlung mit 5% Zinsen. Das folgende Diagramm zeigt, wie viel Sie am Ende des Fünfjahreszeitraums hätten:

Da wir den zukünftigen Wert jeder Zahlung addieren müssen, ist Ihnen möglicherweise aufgefallen, dass es bei einer normalen Rente mit vielen Cashflows lange dauern würde, alle zukünftigen Werte zu berechnen und dann zu addieren. Glücklicherweise bietet die Mathematik eine Formel, die als Abkürzung für die Ermittlung des kumulierten Werts aller Cashflows dient, die von einer normalen Rente bezogen werden:

FVOrdinary Annuity = C × [(1 + i) n − 1i] wobei: C = Cashflow pro Periode = Zinsraten = Anzahl der Zahlungen \ begin {align} & \ text {FV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity }} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {C} = \ text {Cashflow pro Periode} \\ & i = \ text {Zinssatz} \\ & n = \ text {Anzahl der Zahlungen} \\ \ end {ausgerichtet} FVOrdinary Annuity = C × [i (1 + i) n − 1] wobei: C = Cashflow pro Periode = Zinssätze = Anzahl der Zahlungen

Unter Verwendung der obigen Formel für Beispiel 1 oben ist dies das Ergebnis:

FVOrdinary Annuity = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5 - 10, 05] = $ 1000 × [5, 53] \ begin {align} \ text {FV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0.05) ^ 5-1} {0.05} \ right] \\ & = \ $ 1000 \ times [5.53] \\ & = \ $ 5525.63 \ end {align} FVOrdinary Annuity = $ 1000 × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5-1] = $ 1000 × [5, 53]

Berechnung des Barwerts

Beachten Sie, dass die Ein-Cent-Differenz zwischen 5.525, 64 USD und 5.525, 63 USD auf einen Rundungsfehler in der ersten Berechnung zurückzuführen ist. Jeder Wert der ersten Berechnung muss auf den nächsten Cent gerundet werden. Je mehr Zahlen in einer Berechnung gerundet werden müssen, desto wahrscheinlicher sind Rundungsfehler. Die obige Formel bietet also nicht nur eine Abkürzung zum Ermitteln des FV einer normalen Rente, sondern liefert auch ein genaueres Ergebnis.

Der Barwert einer Annuität ist einfach der aktuelle Wert aller Einnahmen, die durch diese Investition in der Zukunft erzielt werden. Diese Berechnung basiert auf dem Konzept des Zeitwerts des Geldes, das besagt, dass ein Dollar jetzt mehr wert ist als ein Dollar, der in Zukunft verdient wird. Aus diesem Grund verwenden Barwertberechnungen die Anzahl der Zeiträume, über die Erträge generiert werden, um den Wert zukünftiger Zahlungen abzuzinsen.

Wenn Sie den heutigen Wert einer zukünftigen Zahlungsserie ermitteln möchten, müssen Sie die Formel verwenden, die den Barwert (PV) einer gewöhnlichen Rente berechnet. Dies ist die Formel, die Sie bei der Berechnung der Anleihepreise verwenden würden. Der PV einer gewöhnlichen Rente berechnet den Barwert der Couponzahlungen, die Sie in Zukunft erhalten.

Für Beispiel 2 verwenden wir dasselbe Annuitäten-Cashflow-Schema wie in Beispiel 1. Um den abgezinsten Gesamtwert zu erhalten, müssen wir den Barwert jeder zukünftigen Zahlung nehmen und wie in Beispiel 1 den addieren Cashflows zusammen.

Auch hier wird die Berechnung und Addition all dieser Werte viel Zeit in Anspruch nehmen, insbesondere wenn wir mit vielen zukünftigen Zahlungen rechnen. Obwohl zahlreiche Online-Rechner den Barwert einer Rente ermitteln können, ist die Formel für eine reguläre Rente nicht allzu kompliziert von Hand zu berechnen, wenn wir eine mathematische Abkürzung für die PV einer normalen Rente verwenden.

PVOrdinary Annuity = C × [1− (1 + i) −ni] \ text {PV} _ {\ text {Ordentliche Jahresrente}} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVOrdinary Annuity = C × [i1− (1 + i) −n]

Die Formel liefert uns die PV in wenigen einfachen Schritten. Hier ist die Berechnung der Rente, die im Diagramm für Beispiel 2 dargestellt ist:

PVOrdinary Annuity = $ 1000 × [1 - (1 + 0, 05) - 50, 05] = $ 1000 × [4, 33] \ begin {align} \ text {PV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} & = \ $ 1000 \ times \ Großer [\ dfrac {1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ groß] \\ & = \ $ 1000 \ mal [4, 33] \\ & = \ $ 4329, 48 \ Ende {ausgerichtet} PVOrdinary Annuity = $ 1000 × [0, 051 - (1 + 0, 05) - 5] = $ 1000 × [4, 33]

Berechnung des zukünftigen Wertes

Wenn Sie Cashflows für eine fällige Annuität erhalten oder zahlen, sieht Ihr Cashflow-Zeitplan folgendermaßen aus:

Da jede Zahlung in der Serie eine Periode früher erfolgt, müssen wir die Formel-1-Periode zurückrechnen. Eine geringfügige Änderung der FV-of-an-ordinary-Annuity-Formel berücksichtigt Zahlungen zu Beginn jeder Periode. Lassen Sie uns in Beispiel 3 veranschaulichen, warum diese Änderung erforderlich ist, wenn jede Zahlung in Höhe von 1.000 USD zu Beginn des Zeitraums und nicht am Ende erfolgt (der Zinssatz beträgt immer noch 5%):

Beachten Sie, dass bei Zahlungen zu Beginn des Zeitraums jeder Betrag am Ende des Zeitraums länger gehalten wird. Wenn die 1.000 USD beispielsweise am 1. Januar statt am 31. Dezember eines jeden Jahres investiert worden wären, wäre die letzte Zahlung, bevor wir unsere Investition am Ende von fünf Jahren (am 31. Dezember) bewerten, ein Jahr vor (1. Januar) statt vor (1. Januar) erfolgt am selben Tag, an dem es bewertet wird. Der zukünftige Wert der Rentenformel würde dann lauten:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n - 1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ richtig] \ mal (1 + i) FVAnnuity Due = C × [i (1 + i) n - 1] × (1 + i)

Deshalb,

FVAnnuity Due = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5 - 10, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05 \ begin {align} FV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0.05) ^ 5-1} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1000 \ times5.53 \ times1.05 \\ & = \ $ 5801.91 \ end { ausgerichtet} FVAnnuity Due = $ 1000 × [0, 05 (1 + 0, 05) 5-1] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05

Annuität fällig

Berechnung des Barwerts

Für den Barwert einer Rentenformel müssen wir den Formel-1-Zeitraum vorab abziehen, da die Zahlungen für einen kürzeren Zeitraum gehalten werden. Bei der Berechnung des Barwerts gehen wir davon aus, dass die erste Zahlung heute erfolgte.

Wir könnten diese Formel zur Berechnung des Barwerts Ihrer zukünftigen Mietzahlungen verwenden, wie in einem Mietvertrag angegeben, den Sie mit Ihrem Vermieter unterzeichnen. Angenommen, Sie leisten Ihre erste Mietzahlung (siehe Beispiel 4 unten) zu Beginn des Monats und bewerten den Barwert Ihres fünfmonatigen Mietvertrags am selben Tag. Ihre Barwertberechnung würde folgendermaßen funktionieren:

Natürlich können wir eine Formelverknüpfung verwenden, um den Barwert einer fälligen Annuität zu berechnen:

PVAnnuity Due = C × [1 - (1 + i) - ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ richtig] \ mal (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1 - (1 + i) - n] × (1 + i)

Deshalb,

PVAnnuity Due = $ 1000 × [(1 - (1 + 0, 05) - 50, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05 \ beginne {ausgerichtet} PV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1000 \ times4.33 \ times1.05 \\ & = \ $ 4545.95 \ end {align} PVAnnuity Due = $ 1000 × [0, 05 (1 - (1 + 0, 05) - 5] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05

Denken Sie daran, dass der Barwert einer normalen Rente einen Wert von 4.329, 48 USD ergab. Der Barwert einer ordentlichen Rente ist niedriger als der eines fälligen Rentenbetrags, da der Barwert einer zukünftigen Zahlung umso niedriger ist, je weiter wir ihn zurückrechnen - jede Zahlung oder jeder Cashflow einer ordentlichen Rente tritt eine Periode weiter in der Zukunft auf.

Der Zeitwert des Geldes

Die zukünftige Wertermittlung basiert auf dem Konzept des Zeitwertes von Geld. Dies bedeutet einfach, dass ein heute verdienter Dollar mehr wert ist als ein morgen verdienter Dollar, da jetzt von Ihnen kontrollierte Gelder investiert werden können und mit der Zeit Zinsen verdienen. Daher ist der zukünftige Wert einer Annuität größer als die Summe aller Ihrer Investitionen, da diese Beiträge im Laufe der Zeit Zinsen verdient haben. Zum Beispiel beträgt der zukünftige Wert von 1.000 USD, der heute bei 10% Zinsen investiert wird, 1.100 USD in einem Jahr. Ein einziger Dollar ist heute aufgrund des zeitlichen Werts des Geldes 1, 10 USD pro Jahr wert.

Angenommen, Sie leisten für 15 Jahre jährliche Zahlungen in Höhe von 5.000 USD an Ihre gewöhnliche Rente. Es verdient 9% Zinsen, die jährlich zusammengesetzt werden.

FV = $ 5.000 × {(((1 + 0, 09) 15) -1) ≤ 0, 09} = $ 5.000 × {((1, 0915) -1) ≤ 0, 09} = $ 5.000 × 2, 642 ≤ 0, 09 \ begin {align} FV & = \ $ 5.000 \ times \ {((((1 + 0.09) ^ {15}) - 1) \ div 0.09 \} \\ & = \ $ 5.000 \ times \ {((1.09 ^ {15}) - 1) \ div 0.09 \ } \\ & = \ $ 5.000 \ mal 2.642 \ div 0.09 \\ & = \ $ 5.000 \ mal \ $ 146.804.58 \ end {align} FV = $ 5.000 × {(((1 + 0.09) 15) −1) ÷ 0.09} = $ 5.000 × {((1.0915) −1) ≤ 0.09} = $ 5.000 × 2.642 ≤ 0.09

Ohne die Zinseszinsanpassung ist Ihre Serie von 5.000 US-Dollar-Beiträgen nach 15 Jahren nur 75.000 US-Dollar wert. Stattdessen ist der zukünftige Wert Ihrer Rente bei Zinseszins fast doppelt so hoch wie bei 146.804, 58 USD.

Um den zukünftigen Wert einer fälligen Annuität zu berechnen, multiplizieren Sie einfach den gewöhnlichen zukünftigen Wert mit 1+ i (dem Zinssatz). Im obigen Beispiel beträgt der zukünftige Wert einer Rente, die mit denselben Parametern fällig ist, einfach 146.804, 58 USD x (1 + 0, 09 USD) oder 160.016, 99 USD.

Barwertüberlegungen

Bei der Berechnung des Barwerts einer Annuität ist es wichtig, dass alle Variablen konsistent sind. Wenn die Annuität zum Beispiel jährliche Zahlungen generiert, muss der Zinssatz auch als Jahresrate ausgedrückt werden. Wenn die Annuität beispielsweise monatliche Zahlungen generiert, muss der Zinssatz auch als monatlicher Zinssatz ausgedrückt werden.

Angenommen, eine Annuität hat einen Zinssatz von 10%, der jährliche Zahlungen von 3.000 USD für die nächsten 15 Jahre generiert. Der Barwert dieser Annuität beträgt:

= $ 3.000 × (((1 - (1 + 0, 1) - 15)) ≤ 0, 1) = $ 3.000 × ((1 - 239392) ≤ 0, 1) = $ 3.000 × (0, 760608 - 0, 1) = $ 3.000 × 7, 60608 \ begin {aligned } & = \ $ 3.000 \ mal (((1 - (1 + 0.1) ^ {- 15})) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ mal ((1 - .239392) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ mal (0, 760608 \ div 0, 1) \\ & = \ $ 3.000 \ mal 7, 60608 \\ & = \ $ 22.818 \ ende {ausgerichtet} = $ 3.000 × (((1 - (1 + 0, 1) - 15)) ÷ 0, 1) = $ 3.000 × ((1 - .239392) ≤ 0, 1) = $ 3.000 × (0, 760608 ≤ 0, 1) = $ 3.000 × 7, 60608

Barwert einer Rente

Die Quintessenz

Jetzt können Sie sehen, wie sich Annuitäten auf die Berechnung des gegenwärtigen und zukünftigen Werts eines Geldbetrags auswirken. Denken Sie daran, dass die Zahlungshäufigkeiten oder die Anzahl der Zahlungen sowie der Zeitpunkt, zu dem diese Zahlungen getätigt werden (zu Beginn oder am Ende jedes Zahlungszeitraums), alle Variablen sind, die Sie in Ihren Berechnungen berücksichtigen müssen.

Bei der Planung einer Pensionierung ist es wichtig, eine gute Vorstellung davon zu haben, auf wie viel Einkommen Sie sich jedes Jahr verlassen können. Es ist zwar relativ einfach, den Überblick darüber zu behalten, wie viel Sie in von Arbeitgebern gesponserte Altersversorgungspläne, individuelle Altersversorgungskonten (IRAs) und Renten investiert haben, es ist jedoch nicht immer so einfach zu wissen, wie viel Sie herausholen werden. Glücklicherweise gibt es bei festverzinslichen Annuitäten oder Plänen, die in festverzinsliche Wertpapiere investiert sind, eine einfache Methode, um zu berechnen, wie viel Geld Sie nach der Pensionierung voraussichtlich zur Verfügung haben, basierend darauf, wie viel Sie während Ihrer Arbeitsjahre auf das Konto eingezahlt haben .