Optimieren Sie Ihr Portfolio mithilfe der Normalverteilung

Die Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die alle ihre Werte symmetrisch darstellt, wobei sich die meisten Ergebnisse um den Mittelwert der Wahrscheinlichkeit befinden.

Normalverteilung (Glockenkurve)

Datensätze (wie die Größe von 100 Menschen, Noten von 45 Schülern in einer Klasse usw.) weisen in der Regel viele Werte am selben Datenpunkt oder innerhalb desselben Bereichs auf. Diese Verteilung der Datenpunkte wird als Normal- oder Glockenkurvenverteilung bezeichnet.

Beispielsweise können in einer Gruppe von 100 Individuen 10 unter 5 Fuß groß sein, 65 zwischen 5 und 5, 5 Fuß stehen und 25 über 5, 5 Fuß liegen. Diese bereichsgebundene Verteilung kann wie folgt dargestellt werden:

In ähnlicher Weise können Datenpunkte, die in Diagrammen für einen bestimmten Datensatz dargestellt sind, unterschiedlichen Arten von Verteilungen ähneln. Drei der häufigsten sind linksbündige, rechtsbündige und durcheinandergebrachte Verteilungen:

Beachten Sie die rote Trendlinie in jedem dieser Diagramme. Dies zeigt grob den Datenverteilungstrend an. Die erste, "LINKS ausgerichtete Verteilung", zeigt an, dass ein Großteil der Datenpunkte in den unteren Bereich fällt. In der zweiten Grafik "RIGHT Aligned Distribution" liegt die Mehrzahl der Datenpunkte am oberen Ende des Bereichs, während die letzte Grafik "Jumbled Distribution" einen gemischten Datensatz ohne eindeutigen Trend darstellt.

Es gibt viele Fälle, in denen die Verteilung von Datenpunkten in der Regel um einen zentralen Wert liegt und dieses Diagramm eine perfekte Normalverteilung zeigt - gleichmäßig auf beiden Seiten verteilt, wobei die höchste Anzahl von Datenpunkten in der Mitte konzentriert ist.

Hier ist ein perfekter, normalverteilter Datensatz:

Der zentrale Wert ist hier 50 (mit der höchsten Anzahl von Datenpunkten), und die Verteilung nimmt gleichmäßig in Richtung der extremen Endwerte 0 und 100 (mit der niedrigsten Anzahl von Datenpunkten) ab. Die Normalverteilung ist symmetrisch um den Zentralwert mit der Hälfte der Werte auf jeder Seite.

Viele Beispiele aus der Praxis passen zur Glockenkurvenverteilung:

• Werfen Sie eine faire Münze viele Male (sagen wir 100 Mal oder mehr) und Sie erhalten eine ausgeglichene Normalverteilung von Kopf und Zahl.
• Wirf ein Paar fairer Würfel mehrmals (etwa 100-mal oder öfter). Das Ergebnis ist eine ausgewogene Normalverteilung, die um die Zahl 7 zentriert ist und sich gleichmäßig zu Extremwerten von 2 und 12 verjüngt.
• Die Größe von Personen in einer Gruppe von beträchtlicher Größe und die von Personen in einer Klasse erzielten Noten folgen beide normalen Verteilungsmustern.
• In Finance Änderungen der Protokollwerte von Forex-Kursen, Preisindizes und Aktienkursen wird angenommen, dass sie normal verteilt sind.

Risiko und Rendite

Jede Investition hat zwei Aspekte: Risiko und Rendite. Investoren suchen das geringstmögliche Risiko für die höchstmögliche Rendite. Die Normalverteilung quantifiziert diese beiden Aspekte durch den Mittelwert für die Rendite und die Standardabweichung für das Risiko. (Weitere Informationen finden Sie unter "Mean-Varianz-Analyse".)

Mittelwert oder erwarteter Wert

Eine bestimmte durchschnittliche Änderung des Aktienkurses könnte täglich 1, 5% betragen - was bedeutet, dass sie im Durchschnitt um 1, 5% steigt. Dieser Mittelwert oder Erwartungswert, der die Rendite angibt, kann ermittelt werden, indem der Durchschnitt eines ausreichend großen Datensatzes berechnet wird, der die historischen täglichen Preisänderungen dieser Aktie enthält. Je höher der Mittelwert, desto besser.

Standardabweichung

Die Standardabweichung gibt an, um wie viel Werte im Mittel vom Mittelwert abweichen. Je höher die Standardabweichung ist, desto riskanter ist die Investition, da dies zu mehr Unsicherheit führt.

Hier ist eine grafische Darstellung desselben:

Die grafische Darstellung der Normalverteilung über Mittelwert und Standardabweichung ermöglicht somit die Darstellung von Rendite und Risiko in einem klar definierten Bereich.

Es ist hilfreich zu wissen (und mit Sicherheit zu wissen), dass, wenn ein Datensatz dem normalen Verteilungsmuster folgt, sein Mittelwert es uns ermöglicht, zu wissen, welche Renditen zu erwarten sind, und seine Standardabweichung es uns ermöglicht, ungefähr 68% der Werte zu kennen liegt innerhalb von 1 Standardabweichung, 95% innerhalb von 2 Standardabweichungen und 99% der Werte liegen innerhalb von 3 Standardabweichungen. Ein Datensatz mit einem Mittelwert von 1, 5 und einer Standardabweichung von 1 ist viel riskanter als ein anderer Datensatz mit einem Mittelwert von 1, 5 und einer Standardabweichung von 0, 1.

Die Kenntnis dieser Werte für jeden ausgewählten Vermögenswert (dh Aktien, Anleihen und Fonds) macht den Anleger auf die erwarteten Renditen und Risiken aufmerksam.

Es ist einfach, dieses Konzept anzuwenden und das Risiko und die Rendite einer einzelnen Aktie, Anleihe oder eines Fonds darzustellen. Kann dies jedoch auf ein Portfolio mit mehreren Assets ausgeweitet werden ">

Einzelpersonen beginnen mit dem Handel, indem sie eine einzelne Aktie oder Anleihe kaufen oder in einen Investmentfonds investieren. Allmählich neigen sie dazu, ihre Bestände zu vergrößern und mehrere Aktien, Fonds oder andere Vermögenswerte zu kaufen, wodurch ein Portfolio entsteht. In diesem inkrementellen Szenario bauen Einzelpersonen ihre Portfolios ohne Strategie oder viel Voraussicht auf. Professionelle Fondsmanager, Händler und Market-Maker verfolgen eine systematische Methode zum Aufbau ihres Portfolios unter Verwendung eines mathematischen Ansatzes, der als moderne Portfoliotheorie (MPT) bezeichnet wird und auf dem Konzept der „Normalverteilung“ basiert.

Moderne Portfolio-Theorie

Die moderne Portfoliotheorie (MPT) bietet einen systematischen mathematischen Ansatz, der darauf abzielt, die erwartete Rendite eines Portfolios für einen bestimmten Betrag des Portfoliorisikos durch Auswahl der Anteile verschiedener Vermögenswerte zu maximieren. Alternativ bietet es auch die Möglichkeit, das Risiko für ein bestimmtes Niveau der erwarteten Rendite zu minimieren.

Um dieses Ziel zu erreichen, sollten die Vermögenswerte, die in das Portfolio aufgenommen werden sollen, nicht ausschließlich auf der Grundlage ihres eigenen Verdienstes ausgewählt werden, sondern auf der Grundlage der Leistung der einzelnen Vermögenswerte im Verhältnis zu den anderen Vermögenswerten im Portfolio.

Zusammenfassend definiert MPT, wie die bestmögliche Diversifizierung des Portfolios erreicht werden kann, um die bestmöglichen Ergebnisse zu erzielen: maximale Renditen bei akzeptablem Risikograd oder minimales Risiko bei gewünschter Rendite.

Die Bausteine

Das MPT war bei seiner Einführung ein so revolutionäres Konzept, dass seine Erfinder einen Nobelpreis gewannen. Diese Theorie lieferte erfolgreich eine mathematische Formel, um die Diversifikation beim Investieren zu steuern.

Diversifikation ist eine Risikomanagementmethode, mit der das Risiko „Alle Eier in einem Korb“ beseitigt wird, indem in nicht korrelierte Aktien, Sektoren oder Anlageklassen investiert wird. Idealerweise hebt die positive Wertentwicklung eines Vermögenswerts im Portfolio die negative Wertentwicklung anderer Vermögenswerte auf.

Um die durchschnittliche Rendite des Portfolios mit n verschiedenen Vermögenswerten zu ermitteln, wird die anteilige Kombination der Renditen der Vermögenswerte berechnet.

Aufgrund der Art der statistischen Berechnungen und der Normalverteilung wird die Gesamtportfoliorendite (R _p ) wie folgt berechnet:

Rp = ∑wiRiR_p = \ sum {w_iR_i} Rp = ∑wi Ri

Die Summe (∑), wobei w _i das proportionale Gewicht des Vermögenswerts i im Portfolio ist, R _i die Rendite (Mittelwert) des Vermögenswerts i ist.

Das Portfoliorisiko (oder die Standardabweichung) ist eine Funktion der Korrelationen der einbezogenen Vermögenswerte für alle Vermögenswertpaare (in Bezug aufeinander im Paar).

Aufgrund der Art der statistischen Berechnungen und der Normalverteilung wird das Gesamtportfoliorisiko (Std-dev) _{p wie} folgt berechnet:

(Std-dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)] \ begin {align} & \ left (Std-dev \ right) _p = \ \ & sqrt \ left [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ left (std-dev \ right) _i \ left (std-dev \ right) _j \ left (cor-cof_ {ij} \ right) \ right] \\ \ end {align} (Std-dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)] Für den Fall, dass Sie nicht mehr weiterkommen möchten

Dabei ist cor-cof der Korrelationskoeffizient zwischen den Renditen der Vermögenswerte i und j und sqrt die Quadratwurzel.

Dies sorgt für die relative Wertentwicklung der einzelnen Vermögenswerte in Bezug auf die anderen.

Obwohl dies mathematisch komplex erscheint, umfasst das hier verwendete einfache Konzept nicht nur die Standardabweichungen einzelner Vermögenswerte, sondern auch die damit verbundenen Abweichungen in Bezug aufeinander.

Ein gutes Beispiel finden Sie hier an der University of Washington.

Ein kurzes Beispiel für MPT

Stellen wir uns als Gedankenexperiment vor, wir sind ein Portfoliomanager, dem Kapital zugewiesen wurde und der die Aufgabe hat, wie viel Kapital zwei verfügbaren Vermögenswerten (A & B) zugewiesen werden soll, damit die erwartete Rendite maximiert und das Risiko verringert wird.

Wir haben auch die folgenden Werte zur Verfügung:

Ra = 0, 175

R _b = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 115

(Std-dev) _ab = -0, 004875

(Cor-cof) _ab = -0, 164

Beginnend mit der gleichen 50-50-Allokation für jedes Asset A & B berechnet sich R _p zu 0, 115 und (Std-dev) _p zu 0, 1323. Ein einfacher Vergleich zeigt, dass bei diesem Portfolio aus 2 Vermögenswerten Rendite und Risiko in der Mitte zwischen den einzelnen Werten der einzelnen Vermögenswerte liegen.

Unser Ziel ist es jedoch, die Rendite des Portfolios über den Durchschnitt der einzelnen Vermögenswerte hinaus zu verbessern und das Risiko so zu verringern, dass es niedriger ist als das der einzelnen Vermögenswerte.

Nehmen wir nun eine Kapitalallokationsposition von 1, 5 in Aktiva A und eine Kapitalallokationsposition von -0, 5 in Aktiva B. (Negative Kapitalallokation bedeutet Leerverkauf von Aktien und erhaltenem Kapital, um den Überschuss des anderen Aktivums mit positiver Kapitalallokation zu kaufen Mit anderen Worten, wir verkaufen die Aktie B für das 0, 5-fache des Kapitals und kaufen mit diesem Geld die Aktie A für das 1, 5-fache des Kapitals.)

Unter Verwendung dieser Werte erhalten wir R _p als 0, 1604 und (Std-dev) _p als 0, 4005.

Ebenso können wir weiterhin unterschiedliche Allokationsgewichte für Asset A und B verwenden und zu unterschiedlichen Mengen von Rp und (Std-dev) p gelangen. Je nach gewünschter Rendite (Rp) kann man das akzeptabelste Risikoniveau (std-dev) p wählen. Alternativ kann für das gewünschte Risikoniveau die beste verfügbare Portfoliorendite ausgewählt werden. In beiden Fällen kann mit diesem mathematischen Modell der Portfoliotheorie das Ziel erreicht werden, ein effizientes Portfolio mit der gewünschten Risiko-Rendite-Kombination zu erstellen.

Die Verwendung automatisierter Werkzeuge ermöglicht es, die bestmöglichen zugeteilten Anteile leicht und problemlos zu ermitteln, ohne dass langwierige manuelle Berechnungen erforderlich sind.

Die effiziente Grenze, das Capital Asset Pricing Model (CAPM) und das Asset Pricing unter Verwendung von MPT entwickeln sich ebenfalls aus demselben normalen Vertriebsmodell und sind eine Erweiterung von MPT.

Herausforderungen für MPT (und die zugrunde liegende Normalverteilung)

Leider ist kein mathematisches Modell perfekt und jedes hat Unzulänglichkeiten und Einschränkungen.

Die Grundannahme, dass Aktienkursrenditen der Normalverteilung selbst folgen, wird immer wieder in Frage gestellt. Es gibt ausreichende empirische Beweise für Fälle, in denen die Werte nicht der angenommenen Normalverteilung entsprechen. Wenn komplexe Modelle auf solchen Annahmen basieren, kann dies zu Ergebnissen mit großen Abweichungen führen.

Im weiteren Verlauf des MPT gelten die Berechnungen und Annahmen zu Korrelationskoeffizienten und Kovarianz (basierend auf historischen Daten) möglicherweise nicht unbedingt für zukünftige erwartete Werte. Beispielsweise zeigten die Anleihen- und Aktienmärkte von 2001 bis 2004 eine perfekte Korrelation auf dem britischen Markt, wo die Renditen beider Vermögenswerte gleichzeitig sanken. In Wirklichkeit wurde das Gegenteil über lange Zeiträume vor 2001 beobachtet.

Das Anlegerverhalten wird in diesem mathematischen Modell nicht berücksichtigt. Steuern und Transaktionskosten werden vernachlässigt, auch wenn eine gebrochene Kapitalallokation und die Möglichkeit eines Shortings von Vermögenswerten angenommen wird.

In Wirklichkeit kann keine dieser Annahmen zutreffen, was bedeutet, dass die realisierten finanziellen Erträge erheblich von den erwarteten Gewinnen abweichen können.

Die Quintessenz

Mathematische Modelle bieten einen guten Mechanismus zur Quantifizierung einiger Variablen mit einzelnen, verfolgbaren Zahlen. Aufgrund der Einschränkungen der Annahmen können Modelle jedoch fehlschlagen.

Die der Portfoliotheorie zugrunde liegende Normalverteilung muss nicht unbedingt für Aktien und andere Preismuster von Finanzanlagen gelten. Die Portfoliotheorie an sich enthält viele Annahmen, die kritisch geprüft werden sollten, bevor wichtige finanzielle Entscheidungen getroffen werden.