Hypothesentest im Finanzbereich: Konzept und Beispiele

Ihr Anlageberater schlägt Ihnen einen monatlichen Ertragsplan vor, der jeden Monat eine variable Rendite verspricht. Sie investieren nur, wenn Sie ein durchschnittliches monatliches Einkommen von 180 USD haben. Ihr Berater teilt Ihnen auch mit, dass das System in den letzten 300 Monaten eine Kapitalrendite mit einem Durchschnittswert von 190 USD und einer Standardabweichung von 75 USD erzielt hat. Sollten Sie in dieses Programm investieren? Hypothesentests helfen bei solchen Entscheidungen.

In diesem Artikel wird davon ausgegangen, dass die Leser mit den Konzepten einer Normalverteilungstabelle, einer Formel, einem p-Wert und den zugehörigen Grundlagen der Statistik vertraut sind.

Was ist Hypothesentest?

Das Testen von Hypothesen oder Signifikanzen ist ein mathematisches Modell zum Testen eines Anspruchs, einer Idee oder einer Hypothese über einen interessierenden Parameter in einem bestimmten Bevölkerungssatz unter Verwendung von Daten, die in einem Stichprobensatz gemessen wurden. An ausgewählten Stichproben werden Berechnungen durchgeführt, um genauere Informationen über die Merkmale der gesamten Population zu erhalten. Auf diese Weise können Aussagen oder Vorstellungen über den gesamten Datensatz systematisch geprüft werden.

Ein einfaches Beispiel: Eine Schulleiterin gibt an, dass Schülerinnen und Schüler ihrer Schule bei Prüfungen durchschnittlich 7 von 10 Punkten erzielen. Um diese „Hypothese“ zu testen, erfassen wir die Noten von beispielsweise 30 Schülern (Stichprobe) aus der gesamten Schülerpopulation der Schule (beispielsweise 300) und berechnen den Mittelwert dieser Stichprobe. Wir können dann den (berechneten) Stichprobenmittelwert mit dem (gemeldeten) Populationsmittelwert vergleichen und versuchen, die Hypothese zu bestätigen.

Ein anderes Beispiel: Die jährliche Rendite eines bestimmten Investmentfonds beträgt 8%. Angenommen, der Investmentfonds besteht seit 20 Jahren. Wir nehmen eine Zufallsstichprobe der jährlichen Renditen des Investmentfonds für beispielsweise fünf Jahre (Stichprobe) und berechnen den Mittelwert. Wir vergleichen dann den (berechneten) Stichprobenmittelwert mit dem (behaupteten) Populationsmittelwert, um die Hypothese zu überprüfen.

Die Entscheidungskriterien müssen auf bestimmten Parametern von Datensätzen basieren.

Es gibt verschiedene Methoden für das Testen von Hypothesen, aber es gibt die gleichen vier grundlegenden Schritte:

Schritt 1: Definieren Sie die Hypothese

Normalerweise wird der gemeldete Wert (oder die Schadensstatistik) als Hypothese angegeben und als wahr angenommen. Für die obigen Beispiele lautet die Hypothese:

• Beispiel A: Die Schüler der Schule erreichen in Prüfungen durchschnittlich 7 von 10 Punkten.
• Beispiel B: Die jährliche Rendite des Investmentfonds beträgt 8% pro Jahr.

Diese angegebene Beschreibung stellt die „ Nullhypothese (H ₀ ) “ dar und wird als wahr angesehen - die Art und Weise, wie ein Angeklagter in einem Gerichtsverfahren als unschuldig gilt, bis die vor Gericht vorgelegten Beweise seine Schuld beweisen. In ähnlicher Weise beginnt das Testen von Hypothesen mit der Angabe und Annahme einer „Nullhypothese“, und dann bestimmt der Prozess, ob die Annahme wahrscheinlich wahr oder falsch ist.

Der wichtige Punkt ist, dass wir die Nullhypothese testen, da ein Zweifel an ihrer Gültigkeit besteht. Alle Informationen, die sich gegen die angegebene Nullhypothese richten, werden in der Alternativhypothese (H ₁ ) erfasst . Für die obigen Beispiele lautet die alternative Hypothese:

• Die Schüler erhalten einen Durchschnitt ungleich 7.
• Die jährliche Rendite des Investmentfonds beträgt nicht 8% pro Jahr.

Mit anderen Worten ist die alternative Hypothese ein direkter Widerspruch zur Nullhypothese.

Wie in einem Gerichtsverfahren geht die Jury von der Unschuld des Angeklagten aus (Nullhypothese). Der Staatsanwalt hat das Gegenteil zu beweisen (Alternativhypothese). Ebenso muss der Forscher nachweisen, dass die Nullhypothese entweder wahr oder falsch ist. Wenn der Staatsanwalt die Alternativhypothese nicht beweist, muss die Jury den Angeklagten gehen lassen (basierend auf der Nullhypothese). In ähnlicher Weise wird angenommen, dass die Nullhypothese wahr ist, wenn der Forscher eine alternative Hypothese nicht beweist (oder einfach nichts tut).

Schritt 2: Legen Sie die Kriterien fest

Die Entscheidungskriterien müssen auf bestimmten Parametern von Datensätzen basieren, und hier kommt die Verbindung zur Normalverteilung ins Spiel.

Gemäß dem Standardstatistikpostulat zur Stichprobenverteilung ist „für jede Stichprobengröße n die Stichprobenverteilung von X̅ normal, wenn die Grundgesamtheit X, aus der die Stichprobe gezogen wird, normal verteilt ist.“ Die Wahrscheinlichkeiten aller anderen möglichen Stichproben bedeuten dies man könnte wählen sind normal verteilt.

Stellen Sie beispielsweise fest, ob die durchschnittliche tägliche Rendite von Aktien, die an der XYZ-Börse notiert sind, um den Neujahrstag herum mehr als 2% beträgt.

H ₀ : Nullhypothese: Mittelwert = 2%

H ₁ : Alternative Hypothese: Mittelwert> 2% (das wollen wir beweisen)

Nehmen Sie die Stichprobe (sagen wir 50 Aktien von insgesamt 500) und berechnen Sie den Mittelwert der Stichprobe.

Bei einer Normalverteilung liegen 95% der Werte innerhalb von zwei Standardabweichungen des Populationsmittelwerts. Diese Normalverteilung und zentrale Grenzannahme für den Stichprobendatensatz ermöglicht es uns daher, 5% als Signifikanzniveau festzulegen. Unter dieser Annahme ist es sinnvoll, Ausreißer mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 5% (100-95) zu bekommen, die über zwei Standardabweichungen vom Populationsmittel liegen. Je nach Art der Datensätze können andere Signifikanzniveaus bei 1%, 5% oder 10% angenommen werden. Für Finanzberechnungen (einschließlich Behavioural Finance) sind 5% das allgemein akzeptierte Limit. Wenn wir Berechnungen finden, die über die üblichen zwei Standardabweichungen hinausgehen, gibt es viele Ausreißer, die die Nullhypothese ablehnen.

Grafisch wird es wie folgt dargestellt:

Im obigen Beispiel lehnen wir die Nullhypothese ab, wenn der Mittelwert der Stichprobe viel größer als 2% ist (z. B. 3, 5%). Die Alternativhypothese (Mittelwert> 2%) wird akzeptiert, die bestätigt, dass die durchschnittliche tägliche Rendite der Aktien tatsächlich über 2% liegt.

Wenn der Mittelwert der Stichprobe jedoch wahrscheinlich nicht signifikant größer als 2% ist (und beispielsweise bei 2, 2% bleibt), können wir die Nullhypothese NICHT ablehnen. Die Herausforderung besteht darin, wie über solche Fälle im Nahbereich zu entscheiden ist. Um aus ausgewählten Stichproben und Ergebnissen einen Schluss zu ziehen, ist ein Signifikanzniveau zu ermitteln, aus dem auf die Nullhypothese geschlossen werden kann. Die alternative Hypothese ermöglicht die Festlegung des Signifikanzniveaus oder des Konzepts des "kritischen Werts" für die Entscheidung über solche Nahbereichsfälle.

Gemäß der Standarddefinition des Lehrbuchs ist „ein kritischer Wert ein Grenzwert, der die Grenzen definiert, über die hinaus weniger als 5% der Stichprobenmittelwerte erhalten werden können, wenn die Nullhypothese wahr ist. Über einen kritischen Wert hinausgehende Stichprobenmittelwerte führen zu der Entscheidung, die Nullhypothese abzulehnen. "Wenn wir im obigen Beispiel den kritischen Wert als 2, 1% definiert haben und der berechnete Mittelwert 2, 2% beträgt, lehnen wir die Nullhypothese ab Ein kritischer Wert legt eine klare Abgrenzung über Akzeptanz oder Ablehnung fest.

Schritt 3: Berechnen Sie die Statistik

In diesem Schritt werden die als Teststatistik (wie Mittelwert, Z-Score, P-Wert usw.) bezeichneten erforderlichen Werte für die ausgewählte Stichprobe berechnet. (Wir werden in einem späteren Abschnitt darauf eingehen.)

Schritt 4: Fazit ziehen

Entscheiden Sie mit den berechneten Werten für die Nullhypothese. Wenn die Wahrscheinlichkeit, einen Stichprobenmittelwert zu erhalten, weniger als 5% beträgt, ist die Schlussfolgerung, die Nullhypothese abzulehnen . Ansonsten akzeptiere und behalte die Nullhypothese bei.

Arten von Fehlern

In Bezug auf die korrekte Anwendbarkeit auf die gesamte Bevölkerung kann es vier mögliche Ergebnisse bei der Stichprobenentscheidung geben:

Die „richtigen“ Fälle sind diejenigen, in denen die Entscheidungen, die in Bezug auf die Stichproben getroffen wurden, wirklich auf die gesamte Bevölkerung anwendbar sind. Die Fehlerfälle entstehen, wenn man beschließt, die Nullhypothese auf der Grundlage der Stichprobenberechnungen beizubehalten (oder abzulehnen), diese Entscheidung jedoch nicht wirklich für die gesamte Grundgesamtheit gilt. Diese Fälle stellen Fehler vom Typ 1 (Alpha) und Typ 2 (Beta) dar, wie in der obigen Tabelle angegeben.

Durch Auswahl des richtigen kritischen Werts können die Alpha-Fehler vom Typ 1 beseitigt oder auf einen akzeptablen Bereich begrenzt werden.

Alpha bezeichnet den Fehler auf dem Signifikanzniveau und wird vom Forscher bestimmt. Um die standardmäßige Signifikanz oder das Konfidenzniveau von 5% für Wahrscheinlichkeitsberechnungen beizubehalten, wird diese bei 5% beibehalten.

Gemäß den anwendbaren Benchmarks und Definitionen für die Entscheidungsfindung:

• „Dieses (Alpha) -Kriterium wird normalerweise auf 0, 05 gesetzt (a = 0, 05), und wir vergleichen den Alpha-Wert mit dem p-Wert. Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ I weniger als 5% beträgt (p <0, 05), lehnen wir die Nullhypothese ab. Ansonsten behalten wir die Nullhypothese bei. “
• Der für diese Wahrscheinlichkeit verwendete Fachbegriff ist p-Wert . Es ist definiert als „die Wahrscheinlichkeit, ein Stichprobenergebnis zu erhalten, vorausgesetzt, der in der Nullhypothese angegebene Wert ist wahr. Der p-Wert zum Erhalten eines Stichprobenergebnisses wird mit dem Signifikanzniveau verglichen.
• Ein Typ-II-Fehler oder Beta-Fehler ist definiert als "die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese falsch beizubehalten, obwohl sie nicht für die gesamte Grundgesamtheit gilt."

Einige weitere Beispiele zeigen diese und andere Berechnungen.

Beispiel 1

Es gibt ein monatliches Einkommensanlageprogramm, das variable monatliche Erträge verspricht. Ein Anleger wird nur investieren, wenn ihm ein durchschnittliches monatliches Einkommen von 180 USD zugesichert wird. Er hat eine Stichprobe von 300 Monatsrenditen mit einem Mittelwert von 190 USD und einer Standardabweichung von 75 USD. Sollte er oder sie in dieses System investieren ">

Stellen wir das Problem auf. Der Anleger wird in das Programm investieren, wenn ihm die gewünschte durchschnittliche Rendite von 180 USD zugesichert wird.

H ₀ : Nullhypothese: Mittelwert = 180

H ₁ : Alternative Hypothese: Mittelwert> 180

Methode 1: Ansatz für kritische Werte

Identifizieren Sie einen kritischen Wert X _L für den Stichprobenmittelwert, der groß genug ist, um die Nullhypothese abzulehnen - dh lehnen Sie die Nullhypothese ab, wenn der Stichprobenmittelwert> = kritischer Wert X _{L ist}

P (Identifizieren eines Alpha-Fehlers vom Typ I) = P (Zurückweisen von H _0, vorausgesetzt, H ₀ ist wahr),

Dies würde erreicht, wenn der Probenmittelwert die kritischen Grenzen überschreitet.

= P (vorausgesetzt, H ₀ ist wahr) = alpha

Grafisch sieht es so aus:

Unter Alpha = 0, 05 (dh 5% Signifikanzniveau), Z _{0, 05} = 1, 645 (aus der Z-Tabelle oder der Normalverteilungstabelle)

=> X _L = 180 + 1, 645 * (75 / sqrt (300)) = 187, 12

Da der Stichprobenmittelwert (190) größer als der kritische Wert (187, 12) ist, wird die Nullhypothese verworfen und die Schlussfolgerung gezogen, dass die durchschnittliche monatliche Rendite tatsächlich größer als 180 USD ist, sodass der Anleger eine Investition in dieses Schema in Betracht ziehen kann.

Methode 2: Verwenden standardisierter Teststatistiken

Man kann auch standardisierte Werte verwenden, z.

Teststatistik, Z = (Mittelwert der Stichprobe - Mittelwert der Grundgesamtheit) / (std-dev / sqrt (Anzahl der Stichproben).

Dann wird der Zurückweisungsbereich wie folgt:

Z = (190-180) / (75 / sqrt (300)) = 2, 309

Unsere Ablehnungsregion bei einem Signifikanzniveau von 5% ist Z> Z _{0, 05} = 1, 645.

Da Z = 2.309 größer als 1.645 ist, kann die Nullhypothese mit einer ähnlichen Schlussfolgerung wie oben verworfen werden.

Methode 3: P-Wert Berechnung

Wir wollen P identifizieren (Stichprobenmittelwert> = 190, wenn Mittelwert = 180).

= P (Z> = (190-180) / (75 / sqrt (300))

= P (Z> = 2, 309) = 0, 0084 = 0, 84%

Die folgende Tabelle zur Ableitung von p-Wert-Berechnungen kommt zu dem Schluss, dass es bestätigte Hinweise darauf gibt, dass die durchschnittliche monatliche Rendite über 180 liegt:

Beispiel 2

Ein neuer Börsenmakler (XYZ) behauptet, dass seine Maklergebühren niedriger sind als die Ihres aktuellen Börsenmaklers (ABC). Daten, die von einem unabhängigen Research-Unternehmen zur Verfügung gestellt wurden, weisen darauf hin, dass der Mittelwert und der Standardwert aller ABC-Broker-Kunden 18 USD bzw. 6 USD betragen.

Es wird eine Stichprobe von 100 Kunden von ABC gezogen, und die Maklergebühren werden mit den neuen Kursen des XYZ-Maklers berechnet. Wenn der Mittelwert der Stichprobe 18, 75 US-Dollar beträgt und std-dev derselbe ist (6 US-Dollar), kann auf den Unterschied in der durchschnittlichen Maklerrechnung zwischen ABC- und XYZ-Makler geschlossen werden ">

H ₀ : Nullhypothese: Mittelwert = 18

H ₁ : Alternative Hypothese: Mittelwert 18 (Dies wollen wir beweisen.)

Zurückweisungsbereich: Z <= - Z _{2, 5} und Z> = Z _{2, 5} (unter der Annahme eines Signifikanzniveaus von 5%, aufgeteilt auf jeweils 2, 5 auf beiden Seiten).

Z = (Stichprobenmittel - Mittelwert) / (Standard-Entwicklung / Quadratmeter (Anzahl der Stichproben))

= (18, 75 - 18) / (6 / (sqrt (100)) = 1, 25

Dieser berechnete Z-Wert liegt zwischen den beiden Grenzen, die definiert sind durch:

- Z _{2, 5} = –1, 96 und Z _{2, 5} = 1, 96.

Dies kommt zu dem Schluss, dass es nicht genügend Beweise gibt, um darauf schließen zu können, dass es einen Unterschied zwischen den Kursen Ihres bestehenden und des neuen Brokers gibt.

Alternativ ist der p-Wert = P (Z1.25)

= 2 * 0, 1056 = 0, 2112 = 21, 12%, was größer als 0, 05 oder 5% ist, was zu derselben Schlussfolgerung führt.

Grafisch wird es wie folgt dargestellt:

Kritikpunkte für die hypothetische Testmethode:

• Eine statistische Methode, die auf Annahmen basiert
• Fehleranfällig in Bezug auf Alpha- und Betafehler
• Die Interpretation des p-Werts kann mehrdeutig sein und zu verwirrenden Ergebnissen führen

Die Quintessenz

Das Testen von Hypothesen ermöglicht es einem mathematischen Modell, eine Behauptung oder Idee mit einem bestimmten Konfidenzniveau zu validieren. Wie die meisten statistischen Tools und Modelle sind sie jedoch an einige Einschränkungen gebunden. Die Verwendung dieses Modells für finanzielle Entscheidungen sollte unter Berücksichtigung aller Abhängigkeiten mit kritischem Blick betrachtet werden. Es lohnt sich auch, alternative Methoden wie die Bayes'sche Inferenz für eine ähnliche Analyse zu untersuchen.