Heath-Jarrow-Morton-Modell - HJM-Modelldefinition
Das Heath-Jarrow-Morton-Modell (HJM-Modell) dient zur Modellierung von Forward-Zinssätzen. Diese Zinssätze werden dann anhand einer bestehenden Zinsstruktur modelliert, um angemessene Preise für zinssensitive Wertpapiere zu ermitteln.
Die Formel für das HJM-Modell lautet
Im Allgemeinen folgen das HJM-Modell und diejenigen, die auf seinem Framework aufbauen, der Formel:
df (t, T) = & agr; (t, T) dt + & sgr; (t, T) dW (t) wobei: df (t, T) = Der aktuelle Forward-Zinssatz einer Nullkuponanleihe mit Laufzeit T wird angenommen um die oben gezeigte stochastische Differentialgleichung zu erfüllen.α, σ = AdaptedW = Eine Brownsche Bewegung (Random-Walk) unter der Annahme, dass die Risiken neutral sind, \ begin {align} & \ text {d} f (t, T) = \ alpha (t, T) \ Text {d} t + \ Sigma (t, T) \ Text {d} W (t) \\ & \ Textbf {wobei:} \\ & \ Text {d} f (t, T) = \ Es wird angenommen, dass der aktuelle Forward-Zinssatz von} \\ & \ text {Nullkuponanleihe mit Laufzeit T} \\ & \ text {der oben gezeigten stochastischen Differentialgleichung entspricht.} \\ & \ alpha, \ sigma = \ text {Angepasst} \\ & W = \ text {Eine Brownsche Bewegung (Random-Walk) unter der} \\ & \ text {risikoneutrale Annahme} \\ \ ende {ausgerichtet} df (t, T) = Es wird angenommen, dass α (t, T) dt + σ (t, T) dW (t) wobei: df (t, T) = Der momentane Forward-Zinssatz einer Nullkupon-Anleihe mit Laufzeit T, die oben gezeigte stochastische Differentialgleichung erfüllt. α, σ = AdaptedW = Eine Brownsche Bewegung (Random-Walk) unter der Annahme einer neutralen Position
Was sagt Ihnen das Heath-Jarrow-Morton-Modell?
Ein Heath-Jarrow-Morton-Modell ist sehr theoretisch und wird auf den fortgeschrittensten Ebenen der Finanzanalyse verwendet. Es wird hauptsächlich von Arbitrage-Anbietern verwendet, die Arbitrage-Möglichkeiten suchen, sowie von Analysten, die Derivate bewerten. Das HJM-Modell sagt Forward-Zinssätze voraus, wobei der Ausgangspunkt die Summe der so genannten Drift- und Diffusionsterme ist. Die Forward Rate Drift wird von der Volatilität bestimmt, die als HJM-Driftbedingung bezeichnet wird. Grundsätzlich ist ein HJM-Modell jedes Zinsmodell, das von einer endlichen Anzahl von Brownschen Bewegungen angetrieben wird.
Das HJM-Modell basiert auf der Arbeit der Ökonomen David Heath, Robert Jarrow und Andrew Morton aus den 1980er Jahren. Das Trio hat Ende der achtziger Jahre zwei bemerkenswerte Veröffentlichungen verfasst, die den Grundstein für das Framework legten, darunter "Bond Pricing und die Laufzeitstruktur der Zinssätze: Eine neue Methodik".
Es gibt verschiedene zusätzliche Modelle, die auf dem HJM-Framework basieren. Sie alle versuchen im Allgemeinen, die gesamte Forward-Zinskurve vorherzusagen, nicht nur die Short-Rate oder den Punkt auf der Kurve. Das größte Problem bei HJM-Modellen besteht darin, dass sie in der Regel unendlich viele Dimensionen haben, sodass eine Berechnung fast unmöglich ist. Es gibt verschiedene Modelle, die das HJM-Modell als endlichen Zustand ausdrücken sollen.
Die zentralen Thesen
- Das Heath-Jarrow-Morton-Modell (HJM-Modell) wird verwendet, um Forward-Zinssätze unter Verwendung einer Differentialgleichung zu modellieren, die Zufälligkeit zulässt.
- Diese Zinssätze werden dann an eine bestehende Laufzeitstruktur der Zinssätze angepasst, um angemessene Preise für zinssensitive Wertpapiere wie Anleihen oder Swaps zu ermitteln.
- Heute wird es hauptsächlich von Arbitrage-Anbietern verwendet, die nach Arbitrage-Möglichkeiten suchen, sowie von Analysten, die Derivate bewerten.
HJM-Modell- und Optionspreise
Das HJM-Modell wird auch bei der Optionsbewertung verwendet, bei der der beizulegende Zeitwert eines Derivatkontrakts ermittelt wird. Handelsinstitute können Modelle zum Preis von Optionen als Strategie zum Auffinden von unter- oder überbewerteten Optionen verwenden.
Optionspreismodelle sind mathematische Modelle, bei denen bekannte Eingaben und vorhergesagte Werte, z. B. implizite Volatilität, verwendet werden, um den theoretischen Wert von Optionen zu ermitteln. Händler verwenden bestimmte Modelle, um den Preis zu einem bestimmten Zeitpunkt zu ermitteln, und aktualisieren die Wertberechnung basierend auf dem sich ändernden Risiko.
Um für ein HJM-Modell den Wert eines Zinsswaps zu berechnen, besteht der erste Schritt darin, eine Abzinsungskurve auf der Grundlage der aktuellen Optionspreise zu bilden. Aus dieser Abzinsungskurve können Terminkurse erhalten werden. Von dort aus muss die Volatilität der Forward-Zinssätze eingegeben werden, und wenn die Volatilität bekannt ist, kann die Drift bestimmt werden.
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