Kontinuierliches Mischen
Kontinuierliche Verzinsung ist die mathematische Grenze, die Zinseszinsen erreichen können, wenn sie über eine theoretisch unendliche Anzahl von Perioden berechnet und in den Kontostand reinvestiert werden. Während dies in der Praxis nicht möglich ist, ist das Konzept des kontinuierlichen Zinseszinses für die Finanzierung wichtig. Es handelt sich um einen Extremfall der Aufzinsung, da die meisten Zinsen monatlich, vierteljährlich oder halbjährlich aufgerechnet werden. Kontinuierlich zusammengesetzte Zinsen bedeuten theoretisch, dass ein Kontostand ständig Zinsen verdient und dass diese Zinsen in den Kontostand zurückgeführt werden, so dass auch dieser Zinsen verdient.
1:59Grundlegendes zu Zinseszinsen
Formel und Berechnung des Zinseszinses
Anstatt die Zinsen für eine begrenzte Anzahl von Perioden zu berechnen, wie beispielsweise für ein Jahr oder einen Monat, berechnet die kontinuierliche Aufzinsung die Zinsen unter der Annahme einer konstanten Aufzinsung über eine unbegrenzte Anzahl von Perioden. Selbst bei sehr hohen Investitionssummen ist die Differenz der durch die kontinuierliche Aufzinsung erzielten Gesamtzinsen im Vergleich zu herkömmlichen Aufzinsungsperioden nicht sehr hoch.
Die Formel für Zinseszinsen über begrenzte Zeiträume berücksichtigt vier Variablen:
- PV = Barwert der Investition
- i = der angegebene Zinssatz
- n = Anzahl der Zinsperioden
- t = die Zeit in Jahren
Die Formel für die kontinuierliche Aufzinsung ergibt sich aus der Formel für den zukünftigen Wert einer verzinslichen Investition:
Zukünftiger Wert (FV) = PV x [1 + (i / n)] (nxt)
Wenn die Grenze dieser Formel berechnet wird, wenn n gegen unendlich geht (gemäß der Definition der kontinuierlichen Aufzinsung), ergibt sich die Formel für die kontinuierliche Aufzinsung:
FV = PV xe (ixt), wobei e die mathematische Konstante ist, die als 2, 7183 angenähert wird.
Die zentralen Thesen
- Die meisten Zinsen werden halbjährlich, vierteljährlich oder monatlich berechnet.
- Kontinuierlich zusammengesetzte Zinsen setzen voraus, dass Zinsen zusammengesetzt und unendlich oft zu einem Anfangswert addiert werden.
- Die Formel für die fortlaufende Verzinsung lautet FV = PV xe (ixt), wobei FV der zukünftige Wert der Investition ist, PV der Barwert ist, i der angegebene Zinssatz ist, t die Zeit in Jahren ist und e die mathematische Konstante ist angenähert als 2, 7183.
Ein Beispiel des Interesses, das in verschiedenen Intervallen zusammengesetzt wird
Nehmen wir beispielsweise an, dass eine Investition in Höhe von 10.000 US-Dollar im nächsten Jahr 15% Zinsen bringt. Die folgenden Beispiele zeigen den Endwert der Anlage, wenn die Zinsen jährlich, halbjährlich, vierteljährlich, monatlich, täglich und fortlaufend erhöht werden.
- Jährliche Aufzinsung: FV = 10.000 USD × (1 + (15% / 1)) (1 × 1) = 11.500 USD
- Halbjährliche Aufzinsung: FV = 10.000 USD × (1 + (15% / 2)) (2 × 1) = 11.556, 25 USD
- Vierteljährliche Aufzinsung: FV = $ 10.000 × (1 + (15% / 4)) (4 × 1) = $ 11.586, 50
- Monatliche Aufzinsung: FV = $ 10.000 × (1 + (15% / 12)) (12 × 1) = $ 11.607, 55
- Tägliche Aufzinsung: FV = $ 10.000 x (1 + (15% / 365)) (365 x 1) = $ 11.617, 98
- Kontinuierliche Compoundierung: FV = 10.000 USD × 2.7183 (15% × 1) = 11.618, 34 USD
Bei täglicher Verzinsung beträgt der Gesamtverdienst 1.617, 98 USD, während bei kontinuierlicher Verzinsung der Gesamtverdienst 1.618, 34 USD beträgt.
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