Zerlegen des Binomialmodells, um eine Option zu bewerten
In der Finanzwelt sind die Bewertungsmodelle Black-Scholes und Binomial-Option zwei der wichtigsten Konzepte der modernen Finanztheorie. Beide werden verwendet, um eine Option zu bewerten, und jede hat ihre eigenen Vor- und Nachteile.
Einige der grundlegenden Vorteile der Verwendung des Binomialmodells sind:
- eine Ansicht mit mehreren Perioden
- Transparenz
- Fähigkeit, Wahrscheinlichkeiten einzubeziehen
In diesem Artikel werden die Vorteile der Verwendung des Binomialmodells anstelle des Black-Scholes-Modells untersucht und einige grundlegende Schritte zur Entwicklung des Modells und zur Erläuterung seiner Verwendung aufgeführt.
Mehrperiodenansicht
Das Binomialmodell bietet eine mehrperiodische Ansicht des zugrunde liegenden Vermögenswertpreises sowie des Optionspreises. Im Gegensatz zum Black-Scholes-Modell, das ein numerisches Ergebnis auf der Grundlage von Eingaben liefert, ermöglicht das Binomialmodell die Berechnung des Vermögenswerts und die Option für mehrere Perioden zusammen mit dem Bereich möglicher Ergebnisse für jede Periode (siehe unten).
Der Vorteil dieser Mehrperiodenansicht besteht darin, dass der Benutzer die Änderung des Vermögenswertpreises von Periode zu Periode visualisieren und die Option basierend auf Entscheidungen bewerten kann, die zu verschiedenen Zeitpunkten getroffen wurden. Für eine in den USA ansässige Option, die jederzeit vor dem Ablaufdatum ausgeübt werden kann, kann das Binomialmodell Aufschluss darüber geben, wann die Option ausgeübt werden sollte und wann sie über einen längeren Zeitraum gehalten werden sollte. Durch Betrachten des Binomialbaums von Werten kann ein Händler im Voraus bestimmen, wann eine Entscheidung über eine Übung erfolgen kann. Wenn die Option einen positiven Wert hat, besteht die Möglichkeit einer Ausübung. Wenn die Option einen Wert von weniger als Null hat, sollte sie länger gehalten werden.
Transparenz
Eng verbunden mit der mehrperiodischen Überprüfung ist die Fähigkeit des Binomialmodells, Transparenz über den zugrunde liegenden Wert des Vermögenswerts und die Option im Laufe der Zeit zu schaffen. Das Black-Scholes-Modell verfügt über fünf Eingänge:
- Der risikofreie Tarif
- Der Ausübungspreis
- Der aktuelle Preis des Vermögenswerts
- Zeit bis zur Fälligkeit
- Die implizite Volatilität des Vermögenspreises
Wenn diese Datenpunkte in ein Black-Scholes-Modell eingegeben werden, berechnet das Modell einen Wert für die Option, die Auswirkungen dieser Faktoren werden jedoch nicht von Periode zu Periode offengelegt. Mit dem Binomialmodell kann ein Händler die Änderung des zugrunde liegenden Vermögenswertpreises von Periode zu Periode und die entsprechende Änderung des Optionspreises sehen.
Wahrscheinlichkeiten berücksichtigen
Die grundlegende Methode zur Berechnung des Binomialoptionsmodells besteht darin, in jedem Zeitraum die gleiche Wahrscheinlichkeit für Erfolg und Misserfolg zu verwenden, bis die Option verfällt. Ein Händler kann jedoch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten für jeden Zeitraum basierend auf neuen Informationen, die im Laufe der Zeit erhalten werden, berücksichtigen.
Beispielsweise besteht eine 50/50-Chance, dass der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts in einem Zeitraum um 30 Prozent steigt oder fällt. Für den zweiten Zeitraum kann die Wahrscheinlichkeit eines Anstiegs des zugrunde liegenden Vermögenswertpreises jedoch auf 70/30 steigen. Wenn ein Investor beispielsweise eine Ölquelle bewertet, ist sich dieser Investor nicht sicher, wie hoch der Wert dieser Ölquelle ist, aber es besteht eine 50/50 Chance, dass der Preis steigen wird. Wenn der Ölpreis in Periode 1 ansteigt und die Ölquelle wertvoller wird und die Marktgrundlagen nun auf einen weiteren Anstieg des Ölpreises hindeuten, kann die Wahrscheinlichkeit einer weiteren Aufwertung des Ölpreises nun bei 70 Prozent liegen. Das Binomialmodell ermöglicht diese Flexibilität; das Black-Scholes-Modell nicht.
Das Modell entwickeln
Das einfachste Binomialmodell weist zwei erwartete Renditen auf, deren Wahrscheinlichkeiten sich zu 100 Prozent summieren. In unserem Beispiel gibt es zu jedem Zeitpunkt zwei mögliche Ergebnisse für die Ölquelle. Eine komplexere Version kann drei oder mehr unterschiedliche Ergebnisse haben, von denen jedes eine Auftrittswahrscheinlichkeit hat.
Um die Rendite pro Periode ab dem Zeitpunkt Null (jetzt) zu berechnen, müssen wir den Wert des zugrunde liegenden Vermögenswerts in einer Periode ab jetzt bestimmen. In diesem Beispiel wird Folgendes angenommen:
- Preis des Basiswerts (P): 500 USD
- Ausübungspreis der Call-Option (K): 600 USD
- Risikofreier Zinssatz für den Zeitraum: 1 Prozent
- Preisänderung pro Periode: 30 Prozent nach oben oder unten
Der Preis des Basiswerts beträgt 500 USD und kann in Periode 1 650 USD oder 350 USD betragen. Dies entspräche einer Zunahme oder Abnahme um 30 Prozent in einem Zeitraum. Da der Ausübungspreis der von uns gehaltenen Call-Optionen 600 USD beträgt, wäre der Wert der Call-Option Null, wenn der zugrunde liegende Vermögenswert weniger als 600 USD beträgt. Übersteigt der Basiswert andererseits den Ausübungspreis von 600 USD, ergibt sich der Wert der Call-Option aus der Differenz zwischen dem Preis des Basiswerts und dem Ausübungspreis. Die Formel für diese Berechnung lautet [max (PK), 0].
max [(P - K), 0] wobei: P = Kurs des Basiswerts K = Ausübungspreis der Kaufoption \ begin {align} & \ max {\ left [\ left (PK \ right), 0 \ right]} \ \ \\ & \ textbf {where:} \\ & P = \ text {Kurs des Basiswerts} \\ & K = \ text {Ausübungspreis der Kaufoption} \\ \ end {aligned} max [(P - K), 0] wobei: P = Kurs des Basiswerts K = Ausübungspreis der Call-Option
Angenommen, es besteht eine 50-prozentige Chance zu steigen und eine 50-prozentige Chance zu fallen. Am Beispiel der Perioden 1 wird berechnet als
max [($ 650 - $ 600), 0] ≤ 0, 5 + max [($ 350 - $ 600), 0] ≤ 0, 5 = $ 50 ≤ 0, 5 + $ 0 = $ 25 \ begin {align} & \ max {\ left [\ left (\ $ 650 - \ $ 600 \ rechts), 0 \ rechts]} * 0, 5+ \ max {\ links [\ links (\ $ 350 - \ $ 600 \ rechts), 0 \ rechts]} * 0, 5 \\ & = \ $ 50 * 0, 5 + \ $ 0 = \ $ 25 \\ \ end {align} max [($ 650 - $ 600), 0] ≤ 0, 5 + max [($ 350 - $ 600), 0] ≤ 0, 5 = $ 50 ≤ 0, 5 + $ 0 = 25 $
Um den aktuellen Wert der Call-Option zu erhalten, müssen wir die 25 US-Dollar in Periode 1 auf Periode 0 reduzieren
$ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75 \ $ 25 / \ left (1 + 1 \% \ right) = $ 24, 75 $ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75
Sie sehen nun, dass sich bei einer Änderung der Wahrscheinlichkeiten auch der erwartete Wert des Basiswerts ändert. Wenn die Wahrscheinlichkeit geändert werden soll, kann sie auch für jede nachfolgende Periode geändert werden und muss nicht unbedingt durchgehend gleich bleiben.
Das Binomialmodell kann problemlos auf mehrere Perioden erweitert werden. Obwohl das Black-Scholes-Modell das Ergebnis eines erweiterten Ablaufdatums berechnen kann, erweitert das Binomialmodell die Entscheidungspunkte auf mehrere Perioden.
Verwendet für das Binomialmodell
Zusätzlich zu seiner Verwendung als Methode zur Berechnung des Werts einer Option kann das Binomialmodell auch für Projekte oder Investitionen mit einem hohen Maß an Unsicherheit, Kapitalbudgetierungs- und Ressourcenallokationsentscheidungen sowie für Projekte mit mehreren Perioden oder einer Laufzeit verwendet werden eingebettete Option, das Projekt zu bestimmten Zeitpunkten entweder fortzusetzen oder abzubrechen.
Ein einfaches Beispiel ist ein Projekt, bei dem nach Öl gebohrt wird. Die Unsicherheit bei dieser Art von Projekten, ob das zu bohrende Land überhaupt Öl enthält, die Ölmenge, die gebohrt werden kann, wenn Öl gefunden wird, und der Preis, zu dem das Öl nach der Förderung verkauft werden kann.
Das Binomialoptionsmodell kann bei der Entscheidungsfindung an jedem Punkt des Ölbohrprojekts hilfreich sein. Nehmen wir zum Beispiel an, wir wollen bohren, aber die Ölquelle wird nur rentabel sein, wenn wir genug Öl finden und der Ölpreis eine bestimmte Menge überschreitet. Es wird eine volle Periode dauern, um zu bestimmen, wie viel Öl wir fördern können, sowie den Ölpreis zu diesem Zeitpunkt. Nach dem ersten Zeitraum (z. B. einem Jahr) können wir auf der Grundlage dieser beiden Datenpunkte entscheiden, ob wir mit dem Bohren fortfahren oder das Projekt aufgeben möchten. Diese Entscheidungen können kontinuierlich getroffen werden, bis ein Punkt erreicht ist, an dem das Bohren keinen Wert mehr hat. Zu diesem Zeitpunkt wird das Bohrloch aufgegeben.
Die Quintessenz
Das Binomialmodell bietet eine detailliertere Ansicht, indem es eine mehrperiodische Ansicht des zugrunde liegenden Vermögenswertpreises und des Optionspreises für mehrere Perioden sowie die Bandbreite möglicher Ergebnisse für jede Periode ermöglicht. Während sowohl das Black-Scholes-Modell als auch das Binomialmodell zur Bewertung von Optionen verwendet werden können, verfügt das Binomialmodell über ein breiteres Anwendungsspektrum, ist intuitiver und einfacher zu verwenden.
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